Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas , das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de uma cônica no plano :
O conteúdo aqui é sobre cônicas, especificamente identificando os vértices e focos, e também as assíntotas e pontos do eixo conjugado, se existirem. Para resolver isso, vamos precisar colocar a equação nessa forma padrão que facilita identificar essas características.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e . Isso ajuda a transformar a equação na forma padrão.
Para os termos de :
Completando o quadrado:
Então:
Para os termos de :
Completando o quadrado:
Então:

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:
Adicionando 32 em ambos os lados:

Passo 5

Dividindo todos os termos por 144 para simplificar:
Simplificando as frações:

Passo 6

Agora, temos a equação na forma padrão de uma hiperbola:
Onde:
  • Centro
  • então
  • então

Passo 7

Para achar os vértices, movimentamos unidades ao longo do eixo (porque a está associada ao termo positivo):
Vértices:

Passo 8

Para encontrar os focos, usamos a relação :
Os focos estão a unidades do centro ao longo do eixo :
Focos:

Passo 9

As assíntotas de uma hipérbola na forma padrão são dadas por:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 10

Como a hipérbola possui um eixo conjugado, podemos identificar os pontos no eixo conjugado. O comprimento do eixo conjugado é . Portanto, os pontos do eixo conjugado estão a unidades acima e abaixo do centro ao longo do eixo :
Pontos:

Resposta

As coordenadas dos vértices são e . Os focos estão em e . As equaç��es das assíntotas são e . Os pontos do eixo conjugado são e .

Exercícios relacionados

A cada uma das sentenças abaixo, responda se é verdadeiro ou falso. Em caso de VERDADEIRO, prove. Caso seja FALSO, dê um contra-exemplo.
.
Considere a matriz no espaço vetorial real das matrizes . Encontre o vetor coordenada de em relação a:
(a) A base ,
(b) A base canônica .
Uma hipérbole tem seu centro em , um vértice em e as assíntotas são .
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(f) .