Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas
(lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas
). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas
, das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de uma cônica no plano
:
O conteúdo aqui é sobre cônicas, especificamente identificando os vértices e focos, e também as assíntotas e pontos do eixo conjugado, se existirem. Para resolver isso, vamos precisar colocar a equação nessa forma padrão que facilita identificar essas características.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de
e
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e
. Isso ajuda a transformar a equação na forma padrão.
Para os termos de
:
Completando o quadrado:
Então:
Para os termos de
:
Completando o quadrado:
Então:
Passo 4
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:
Adicionando 32 em ambos os lados:
Passo 5
Dividindo todos os termos por 144 para simplificar:
Simplificando as frações:
Passo 6
Agora, temos a equação na forma padrão de uma hiperbola:
Onde:
- Centro
-
então -
então
Passo 7
Para achar os vértices, movimentamos
unidades ao longo do eixo
(porque a
está associada ao termo positivo):
Vértices:
Passo 8
Para encontrar os focos, usamos a relação
:
Os focos estão a
unidades do centro ao longo do eixo
:
Focos:
Passo 9
As assíntotas de uma hipérbola na forma padrão são dadas por:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 10
Como a hipérbola possui um eixo conjugado, podemos identificar os pontos no eixo conjugado. O comprimento do eixo conjugado é
. Portanto, os pontos do eixo conjugado estão a
unidades acima e abaixo do centro ao longo do eixo
:
Pontos:
Resposta
As coordenadas dos vértices são
e
. Os focos estão em
e
. As equaç��es das assíntotas são
e
. Os pontos do eixo conjugado são
e
.
Exercícios relacionados
A cada uma das sentenças abaixo, responda se é verdadeiro ou falso. Em caso de VERDADEIRO, prove. Caso seja FALSO, dê um contra-exemplo.
.
Considere a matriz
no espaço vetorial real
das matrizes
. Encontre o vetor coordenada de
em relação a:
(a) A base ,
(b) A base canônica .
(a) A base
(b) A base canônica
Uma hipérbole tem seu centro em
, um vértice em
e as assíntotas são
.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas
. Faça um esboço.
(f) .
(f)