Considere a cônica cuja equação no plano x y é dada por
16 x^2-48 x-112-9 y^2-12 y=0
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas x y (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas x y ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas x y, das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de uma cônica no plano 16 x^2-48 x-112-9 y^2-12 y=0 :
O conteúdo aqui é sobre cônicas, especificamente identificando os vértices e focos, e também as assíntotas e pontos do eixo conjugado, se existirem. Para resolver isso, vamos precisar colocar a equação nessa forma padrão que facilita identificar essas características.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de 16x^2 - 48x - 9y^2 - 12y = 112 e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 16x^2 - 48x = 16(x^2 - 3x) e x^2 - 3x + (32)^2 = (x - 32)^2 - 94 . Isso ajuda a transformar a equação na forma padrão.
Para os termos de 16(x^2 - 3x) = 16((x - 32)^2 - 94) = 16(x - 32)^2 - 36 :
-9y^2 - 12y = -9(y^2 + 43y)
Completando o quadrado:
y^2 + 43y + (23)^2 = (y + 23)^2 - 49
Então:
-9(y^2 + 43y) = -9((y + 23)^2 - 49) = -9(y + 23)^2 + 4
Para os termos de :
Completando o quadrado:
Então:

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
16(x - 32)^2 - 36 - 9(y + 23)^2 + 4 = 112
Simplificando:
16(x - 32)^2 - 9(y + 23)^2 - 32 = 112
Adicionando 32 em ambos os lados:
16(x - 32)^2 - 9(y + 23)^2 = 144

Passo 5

Dividindo todos os termos por 144 para simplificar:
16(x - 32)^2144 - 9(y + 23)^2144 = 1
Simplificando as frações:
(x - 32)^29 - (y + 23)^216 = 1

Passo 6

Agora, temos a equação na forma padrão de uma hiperbola:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Onde:
  • Centro
  • então
  • então

Passo 7

Para achar os vértices, movimentamos (32 pm 3, -23) = (32 + 3, -23) e (32 - 3, -23) unidades ao longo do eixo (92, -23) e (-32, -23) (porque a está associada ao termo positivo):
Vértices:

Passo 8

Para encontrar os focos, usamos a relação c^2 = 9 + 16 = 25 Rightarrow c = 5 :
(32 pm 5, -23) = (132, -23) e (-72, -23)
Os focos estão a unidades do centro ao longo do eixo :
Focos:

Passo 9

As assíntotas de uma hipérbola na forma padrão são dadas por:
y - k = pm ba(x - h)
Substituindo os valores:
y + 23 = pm 43(x - 32)
Simplificando:
y = pm 43x - 43 cdot 32 - 23 = pm 43x - 2 - 23
y = pm 43x - 83

Passo 10

Como a hipérbola possui um eixo conjugado, podemos identificar os pontos no eixo conjugado. O comprimento do eixo conjugado é (32, -23 pm 4) = (32, 103) e (32, -143) . Portanto, os pontos do eixo conjugado estão a unidades acima e abaixo do centro ao longo do eixo :
Pontos:

Resposta

As coordenadas dos vértices são e . Os focos estão em e . As equaç��es das assíntotas são e . Os pontos do eixo conjugado são e .

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