Considere a matriz no espaço vetorial real das matrizes . Encontre o vetor coordenada de em relação a:
(a) A base ,
(b) A base canônica .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa encontrar o vetor coordenada da matriz em relação a duas bases diferentes no espaço das matrizes . Hoje vamos focar na parte (a), que usa uma base específica que foi dada. Para isso, vamos precisar entender o que são bases, como expressar uma matriz em termos dessas bases, e resolver um sistema de equações para achar as coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, a base é composta por quatro matrizes:
Nosso objetivo é encontrar números (coordenadas) que, quando multiplicados por essas matrizes da base e somados, resultem na matriz .
Passo 3
Vamos chamar as coordenadas que precisamos encontrar de . Então, queremos resolver a seguinte equação:
Isso significa que cada entrada da matriz é igual à soma das entradas correspondentes das matrizes da base multiplicadas pelas coordenadas.
Passo 4
Vamos escrever isso componente por componente. Igualando as entradas, temos:
Agora temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas.
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Quarta equação:
Já na quarta equação, encontramos diretamente:
Passo 6
Com , vamos substituir na terceira equação para encontrar :
Passo 7
Agora, vamos substituir e na segunda equação para encontrar :
Passo 8
Por fim, substituímos , , e na primeira equação para encontrar :