Considere a matriz no espaço vetorial real das matrizes . Encontre o vetor coordenada de em relação a:
(a) A base ,
(b) A base canônica .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa encontrar o vetor coordenada da matriz em relação a duas bases diferentes no espaço das matrizes . Hoje vamos focar na parte (a), que usa uma base específica que foi dada. Para isso, vamos precisar entender o que são bases, como expressar uma matriz em termos dessas bases, e resolver um sistema de equações para achar as coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, a base é composta por quatro matrizes:
Nosso objetivo é encontrar números (coordenadas) que, quando multiplicados por essas matrizes da base e somados, resultem na matriz .

Passo 3

Vamos chamar as coordenadas que precisamos encontrar de . Então, queremos resolver a seguinte equação:
Isso significa que cada entrada da matriz é igual à soma das entradas correspondentes das matrizes da base multiplicadas pelas coordenadas.

Passo 4

Vamos escrever isso componente por componente. Igualando as entradas, temos:
Agora temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas.

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Quarta equação:
Já na quarta equação, encontramos diretamente:

Passo 6

Com , vamos substituir na terceira equação para encontrar :

Passo 7

Agora, vamos substituir e na segunda equação para encontrar :

Passo 8

Por fim, substituímos , , e na primeira equação para encontrar :

Resposta

Então, o vetor coordenada de em relação à base é:

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Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas , das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
Seja o espaço vetorial das matrizes sobre . Considere como o subespaço das matrizes simétricas em . Mostre que , encontrando uma base para .
A cada uma das sentenças abaixo, responda se é verdadeiro ou falso. Em caso de VERDADEIRO, prove. Caso seja FALSO, dê um contra-exemplo.
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(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas , das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.