Considere a matriz A=(cc2 & 3 -4 & -7) no espaço vetorial real M2 times 2(R) das matrizes 2 times 2. Encontre o vetor coordenada de A em relação a:
(a) A base B=(cc1 & 1 -1 & 1),(cc1 & -1 -1 & 0),(cc1 & -1 0 & 0),(ll1 & 0 0 & 0),
(b) A base canônica E=(ll1 & 0 0 & 0),(ll0 & 1 0 & 0),(ll0 & 0 1 & 0),(ll0 & 0 0 & 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa encontrar o vetor coordenada da matriz 2 & 3 -4 & -7 em relação a duas bases diferentes no espaço das matrizes . Hoje vamos focar na parte (a), que usa uma base específica que foi dada. Para isso, vamos precisar entender o que são bases, como expressar uma matriz em termos dessas bases, e resolver um sistema de equações para achar as coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, a base B = 1 & 1 -1 & 1 , 1 & -1 -1 & 0 , 1 & -1 0 & 0 , 1 & 0 0 & 0 é composta por quatro matrizes:
Nosso objetivo é encontrar números (coordenadas) que, quando multiplicados por essas matrizes da base e somados, resultem na matriz .

Passo 3

Vamos chamar as coordenadas que precisamos encontrar de A = x1 1 & 1 -1 & 1 + x2 1 & -1 -1 & 0 + x3 1 & -1 0 & 0 + x4 1 & 0 0 & 0 . Então, queremos resolver a seguinte equação:
Isso significa que cada entrada da matriz é igual à soma das entradas correspondentes das matrizes da base multiplicadas pelas coordenadas.

Passo 4

Vamos escrever isso componente por componente. Igualando as entradas, temos:
2 = x1(1) + x2(1) + x3(1) + x4(1) 3 = x1(1) + x2(-1) + x3(-1) + x4(0) -4 = x1(-1) + x2(-1) + x3(0) + x4(0) -7 = x1(1) + x2(0) + x3(0) + x4(0)
Agora temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas.

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeira equação:
2 = x1 + x2 + x3 + x4 (1)
Segunda equação:
3 = x1 - x2 - x3 (2)
Terceira equação:
-4 = -x1 - x2 (3)
Quarta equação:
-7 = x1 (4)
Já na quarta equação, encontramos x1 = -7 diretamente:

Passo 6

Com -4 = -(-7) - x2 -4 = 7 - x2 -4 - 7 = -x2 -11 = -x2 x2 = 11 , vamos substituir na terceira equação para encontrar :

Passo 7

Agora, vamos substituir 3 = (-7) - 11 - x3 3 = -18 - x3 3 + 18 = -x3 21 = -x3 x3 = -21 e na segunda equação para encontrar :

Passo 8

Por fim, substituímos 2 = (-7) + 11 + (-21) + x4 2 = -17 + x4 2 + 17 = x4 x4 = 19 , , e na primeira equação para encontrar :

Resposta

Então, o vetor coordenada de -7 11 -21 19 em relação à base é:

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