Uma hipérbole tem seu centro em C=(3,4), um vértice em (3,5) e as assíntotas são y-4= pm 2(x-3).
© Esboce a curva no sistema de coordenadas x y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar uma hipérbole no sistema de coordenadas xy. A hipérbole tem seu centro em C=(3,4), um vértice em (3,5) e as assíntotas são dadas por y-4= pm 2(x-3). Então, vamos precisar lembrar como identificar os elementos principais da hipérbole e usar as equações das assíntotas para ajudar no desenho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a hipérbole está aberta na vertical ou na horizontal. Sabemos que o vértice está em (3,5) e o centro é (3,4). Como a coordenada x é a mesma nos dois pontos, a hipérbole está aberta na vertical.
A equação padrão de uma hipérbole aberta na vertical é:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Aqui, (h,k) é o centro da hipérbole.

Passo 3

Vamos substituir o centro (3,4) na equação:
(y - 4)^2a^2 - (x - 3)^2b^2 = 1
Agora, precisamos encontrar os valores de a e b. Sabemos que a distância do centro até o vértice é a. O centro está em (3,4) e o vértice em (3,5), então:
a = 5 - 4 = 1
Então, a^2 = 1.

Passo 4

Agora, vamos usar as assíntotas para encontrar b. As equações das assíntotas para uma hipérbole vertical são:
y - k = pm ab(x - h)
Dadas as assíntotas y-4= pm 2(x-3), podemos comparar com a fórmula e identificar que:
ab = 2 implies 1b = 2 implies b = 12
Então, b^2 = (12)^2 = 14.

Passo 5

Agora que temos a^2 e b^2, podemos escrever a equação completa da hipérbole:
(y - 4)^21 - (x - 3)^214 = 1
Ou simplificando:
(y - 4)^2 - 4(x - 3)^2 = 1

Passo 6

Para esboçar a hipérbole, vamos seguir alguns passos:
  1. Centro: Marcar o ponto (3,4) no gráfico.
  2. Vértices: Já temos o vértice em (3,5) e, como a hipérbole é vertical, o outro vértice fica em (3,3).
  3. Assíntotas: Desenhar as linhas y-4= 2(x-3) e y-4= -2(x-3). Essas linhas passam pelo centro e indicam a direção da hipérbole.
  4. Ramos da Hipérbole: A hipérbole se abre para cima e para baixo seguindo a direção das assíntotas.
  5. Curva: Traçar a curva da hipérbole aproximando-se das assíntotas sem nunca as cruzar.

Resposta

Seguindo esses passos, você conseguirá esboçar a hipérbole no sistema de coordenadas xy, identificando corretamente o centro, vértices e assíntotas para desenhar os ramos que se aproximam das linhas das assíntotas.

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