Uma hipérbole tem seu centro em
, um vértice em
e as assíntotas são
.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar uma hipérbole no sistema de coordenadas
. A hipérbole tem seu centro em
, um vértice em
e as assíntotas são dadas por
. Então, vamos precisar lembrar como identificar os elementos principais da hipérbole e usar as equações das assíntotas para ajudar no desenho.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a hipérbole está aberta na vertical ou na horizontal. Sabemos que o vértice está em
e o centro é
. Como a coordenada
é a mesma nos dois pontos, a hipérbole está aberta na vertical.
A equação padrão de uma hipérbole aberta na vertical é:
Aqui,
é o centro da hipérbole.
Passo 3
Vamos substituir o centro
na equação:
Agora, precisamos encontrar os valores de
e
. Sabemos que a distância do centro até o vértice é
. O centro está em
e o vértice em
, então:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos usar as assíntotas para encontrar
. As equações das assíntotas para uma hipérbole vertical são:
Dadas as assíntotas
, podemos comparar com a fórmula e identificar que:
Então,
.
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos escrever a equação completa da hipérbole:
Ou simplificando:
Passo 6
Para esboçar a hipérbole, vamos seguir alguns passos:
- Centro: Marcar o ponto
no gráfico. - Vértices: Já temos o vértice em
e, como a hipérbole é vertical, o outro vértice fica em . - Assíntotas: Desenhar as linhas
e . Essas linhas passam pelo centro e indicam a direção da hipérbole. - Ramos da Hipérbole: A hipérbole se abre para cima e para baixo seguindo a direção das assíntotas.
- Curva: Traçar a curva da hipérbole aproximando-se das assíntotas sem nunca as cruzar.
Resposta
Seguindo esses passos, você conseguirá esboçar a hipérbole no sistema de coordenadas
, identificando corretamente o centro, vértices e assíntotas para desenhar os ramos que se aproximam das linhas das assíntotas.
Exercícios relacionados
Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas
(lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas
). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas
, das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
A cada uma das sentenças abaixo, responda se é verdadeiro ou falso. Em caso de VERDADEIRO, prove. Caso seja FALSO, dê um contra-exemplo.
.
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas
. Faça um esboço.
(f) .
(f)
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas
. Faça um esboço.
(i) .
(i)