Uma hipérbole tem seu centro em , um vértice em e as assíntotas são .
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar uma hipérbole no sistema de coordenadas . A hipérbole tem seu centro em , um vértice em e as assíntotas são dadas por . Então, vamos precisar lembrar como identificar os elementos principais da hipérbole e usar as equações das assíntotas para ajudar no desenho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a hipérbole está aberta na vertical ou na horizontal. Sabemos que o vértice está em e o centro é . Como a coordenada é a mesma nos dois pontos, a hipérbole está aberta na vertical.
A equação padrão de uma hipérbole aberta na vertical é:
Aqui, é o centro da hipérbole.

Passo 3

Vamos substituir o centro na equação:
Agora, precisamos encontrar os valores de e . Sabemos que a distância do centro até o vértice é . O centro está em e o vértice em , então:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos usar as assíntotas para encontrar . As equações das assíntotas para uma hipérbole vertical são:
Dadas as assíntotas , podemos comparar com a fórmula e identificar que:
Então, .

Passo 5

Agora que temos e , podemos escrever a equação completa da hipérbole:
Ou simplificando:

Passo 6

Para esboçar a hipérbole, vamos seguir alguns passos:
  1. Centro: Marcar o ponto no gráfico.
  2. Vértices: Já temos o vértice em e, como a hipérbole é vertical, o outro vértice fica em .
  3. Assíntotas: Desenhar as linhas e . Essas linhas passam pelo centro e indicam a direção da hipérbole.
  4. Ramos da Hipérbole: A hipérbole se abre para cima e para baixo seguindo a direção das assíntotas.
  5. Curva: Traçar a curva da hipérbole aproximando-se das assíntotas sem nunca as cruzar.

Resposta

Seguindo esses passos, você conseguirá esboçar a hipérbole no sistema de coordenadas , identificando corretamente o centro, vértices e assíntotas para desenhar os ramos que se aproximam das linhas das assíntotas.

Exercícios relacionados

Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas , das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
A cada uma das sentenças abaixo, responda se é verdadeiro ou falso. Em caso de VERDADEIRO, prove. Caso seja FALSO, dê um contra-exemplo.
.
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(f) .
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(i) .