Em cada série a seguir indique quais testes podem ser usados para decidir sobre sua convergência ou a divergência. Justifique sua resposta!
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na série que você trouxe:
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries. Especificamente, vamos precisar entender o Teste da Divergência, que nos ajuda a verificar se uma série não converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é
. Esse termo representa a expressão que estamos somando de
até o infinito.
Passo 3
Agora, para aplicar o Teste da Divergência, precisamos calcular o limite do termo geral
quando
se aproxima do infinito. Ou seja, vamos calcular:
Passo 4
Vamos simplificar esse limite dividindo numerador e denominador por
:
Quando
tende ao infinito,
tende a 0. Portanto:
Passo 5
Encontramos que:
Como o limite do termo geral não é zero (
), pelo Teste da Divergência, sabemos que a série
diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Teste da Divergência, já que o limite do termo geral é
.