Em cada série a seguir indique quais testes podem ser usados para decidir sobre sua convergência ou a divergência. Justifique sua resposta!
sumn=1^infty n-12 n+1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na série que você trouxe: . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries. Especificamente, vamos precisar entender o Teste da Divergência, que nos ajuda a verificar se uma série não converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . Esse termo representa a expressão que estamos somando de até o infinito.

Passo 3

Agora, para aplicar o Teste da Divergência, precisamos calcular o limite do termo geral limn to infty n-12n+1 quando se aproxima do infinito. Ou seja, vamos calcular:

Passo 4

Vamos simplificar esse limite dividindo numerador e denominador por limn to infty n(1 - 1n)2n(1 + 12n) = limn to infty 1 - 1n2(1 + 12n) :
1 - 02(1 + 0) = 12
Quando tende ao infinito, tende a 0. Portanto:

Passo 5

Encontramos que:
limn to infty an = 12
Como o limite do termo geral não é zero ( ), pelo Teste da Divergência, sabemos que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Divergência, já que o limite do termo geral é .

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