Expresse F como uma série de potências em h / R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para expressarmos como uma série de potências em . Isso significa que a gente precisa representar como uma soma infinita de termos envolvendo elevado a diferentes potências. Para isso, vamos usar a teoria de séries de Taylor, que nos ajuda a expandir funções em torno de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. Ela tem a forma:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar. Esses coeficientes são derivados das derivadas da função avaliadas no ponto onde estamos expandindo, geralmente .

Passo 3

Vamos calcular os coeficientes . A fórmula geral para o coeficiente em uma série de Taylor é:
Onde é a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 4

Agora, precisamos calcular as derivadas de em relação a e avaliá-las em . Vamos fazer isso para os primeiros termos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
E assim por diante. Cada coeficiente é calculado da mesma maneira.

Passo 5

Finalmente, substituímos os coeficientes encontrados na série de potências:

Resposta

Portanto, pode ser expresso como uma série de potências em da seguinte forma:

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