Expresse
como uma série de potências em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para expressarmos
como uma série de potências em
. Isso significa que a gente precisa representar
como uma soma infinita de termos envolvendo
elevado a diferentes potências. Para isso, vamos usar a teoria de séries de Taylor, que nos ajuda a expandir funções em torno de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. Ela tem a forma:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar. Esses coeficientes são derivados das derivadas da função
avaliadas no ponto onde estamos expandindo, geralmente
.
Passo 3
Vamos calcular os coeficientes
. A fórmula geral para o coeficiente
em uma série de Taylor é:
Onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular as derivadas de
em relação a
e avaliá-las em
. Vamos fazer isso para os primeiros termos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante. Cada coeficiente é calculado da mesma maneira.
Passo 5
Finalmente, substituímos os coeficientes encontrados na série de potências:
Resposta
Portanto,
pode ser expresso como uma série de potências em
da seguinte forma: