Em cada série a seguir indique quais testes podem ser usados para decidir sobre sua convergência ou a divergência. Justifique sua resposta!
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a convergência ou divergência da série
. Vamos usar alguns testes de convergência para decidir isso. Para resolver, vamos precisar entender sobre séries alternadas e testes como o Teste da Série Alternada e o Teste da Convergência Absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a série dada é uma série alternada por causa do termo
. Séries alternadas têm sinais positivos e negativos que se alternam, o que pode ajudar na análise da convergência.
Passo 3
Agora, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que a gente olha para a série sem o
, ou seja,
. Observando o comportamento do termo geral, quando
é grande,
domina no denominador, então
.
Passo 4
A série
é conhecida como série harmônica, que é divergente. Então, pelo Teste da Comparação, já sabemos que a série original não converge absolutamente.
Passo 5
Como a convergência absoluta não acontece, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos
são positivos, decrescentes e tendem a zero quando
vai para o infinito, então a série alternada converge.
Passo 6
Vamos conferir essas condições:
- Positivos: Claro,
para todo . - Decrescentes: À medida que
aumenta, cresce mais rápido que , então diminui. - Tendência a zero:
.
Passo 7
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
converge condicionalmente pelo Teste da Série Alternada.