Em cada série a seguir indique quais testes podem ser usados para decidir sobre sua convergência ou a divergência. Justifique sua resposta!
sumn=1^infty(-1)^n n^3n^4+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a convergência ou divergência da série . Vamos usar alguns testes de convergência para decidir isso. Para resolver, vamos precisar entender sobre séries alternadas e testes como o Teste da Série Alternada e o Teste da Convergência Absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a série dada é uma série alternada por causa do termo . Séries alternadas têm sinais positivos e negativos que se alternam, o que pode ajudar na análise da convergência.

Passo 3

Agora, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que a gente olha para a série sem o , ou seja, . Observando o comportamento do termo geral, quando é grande, domina no denominador, então .

Passo 4

A série é conhecida como série harmônica, que é divergente. Então, pelo Teste da Comparação, já sabemos que a série original não converge absolutamente.

Passo 5

Como a convergência absoluta não acontece, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero quando vai para o infinito, então a série alternada converge.

Passo 6

Vamos conferir essas condições:
  1. Positivos: Claro, para todo .
  2. Decrescentes: À medida que aumenta, cresce mais rápido que , então diminui.
  3. Tendência a zero: .

Passo 7

Como todas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo Teste da Série Alternada.

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