Em cada série a seguir indique quais testes podem ser usados para decidir sobre sua convergência ou a divergência. Justifique sua resposta!
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa analisar se a série infinita
converge ou não. Para resolver isso, vamos precisar usar alguns testes de convergência de séries, que são ferramentas que nos ajudam a decidir se a soma de infinitos termos realmente dá um número finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como os termos da série se comportam quando
fica muito grande. Olhando para o numerador
, para valores grandes de
, o
se torna bem pequeno comparado ao
, então podemos simplificar isso para aproximadamente
.
No denominador, temos
. Similarmente, para
grande, os termos com menor potência de
ficam desprezados, então isso fica aproximadamente
.
Então, para
grande, o termo geral da série se comporta como:
Passo 3
Agora, vamos comparar essa série com uma série mais simples que a gente já conhece, tipo a série p. A série p tem a forma
e sabemos que ela converge se
e diverge se
.
No nosso caso, o termo simplificado é
, que é parecido com
. Aqui,
, que é maior que 1. Isso sugere que a nossa série pode convergir.
Passo 4
Para confirmar isso, podemos usar o Teste da Comparação Limitada, que basicamente diz que se os termos da nossa série são aproximadamente iguais aos de uma série p que sabemos que converge, então a nossa série também converge.
Matematicamente, calculamos o limite:
Simplificando, para
grande, isso se aproxima de:
Como o limite é um número finito diferente de zero, pelo Teste da Comparação Limitada, as duas séries têm o mesmo comportamento em termos de convergência. Já sabemos que
converge, então nossa série também converge.
Passo 5
Outra opção seria usar o Teste da Comparação Direta. Sabemos que:
Como
converge e nossa série é menor ou igual a ela multiplicada por uma constante, pelo Teste da Comparação Direta, nossa série também converge.
Resposta
A série
converge. Podemos usar tanto o Teste da Comparação Limitada quanto o Teste da Comparação Direta para determinar isso, já que comparamos a série original com uma série p conhecida que converge quando
.