Em cada série a seguir indique quais testes podem ser usados para decidir sobre sua convergência ou a divergência. Justifique sua resposta!
sumn=1^infty raizn^3+13 n^3+4 n^2+2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa analisar se a série infinita converge ou não. Para resolver isso, vamos precisar usar alguns testes de convergência de séries, que são ferramentas que nos ajudam a decidir se a soma de infinitos termos realmente dá um número finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os termos da série se comportam quando n^3/23n^3 = 13n^3/2 fica muito grande. Olhando para o numerador , para valores grandes de , o se torna bem pequeno comparado ao , então podemos simplificar isso para aproximadamente .
No denominador, temos . Similarmente, para grande, os termos com menor potência de ficam desprezados, então isso fica aproximadamente .
Então, para grande, o termo geral da série se comporta como:

Passo 3

Agora, vamos comparar essa série com uma série mais simples que a gente já conhece, tipo a série p. A série p tem a forma e sabemos que ela converge se e diverge se .
No nosso caso, o termo simplificado é , que é parecido com . Aqui, , que é maior que 1. Isso sugere que a nossa série pode convergir.

Passo 4

Para confirmar isso, podemos usar o Teste da Comparação Limitada, que basicamente diz que se os termos da nossa série são aproximadamente iguais aos de uma série p que sabemos que converge, então a nossa série também converge.
Matematicamente, calculamos o limite:
limn to infty raizn^3+13 n^3+4 n^2+21n^3/2 = limn to infty raizn^3+1 cdot n^3/23 n^3+4 n^2+2
Simplificando, para limn to infty n^3/2 cdot n^3/23n^3 = limn to infty n^33n^3 = 13 grande, isso se aproxima de:
Como o limite é um número finito diferente de zero, pelo Teste da Comparação Limitada, as duas séries têm o mesmo comportamento em termos de convergência. Já sabemos que converge, então nossa série também converge.

Passo 5

Outra opção seria usar o Teste da Comparação Direta. Sabemos que:
raizn^3+13 n^3+4 n^2+2 <= n^3/2 cdot raiz23n^3 = raiz23n^3/2
Como converge e nossa série é menor ou igual a ela multiplicada por uma constante, pelo Teste da Comparação Direta, nossa série também converge.

Resposta

A série converge. Podemos usar tanto o Teste da Comparação Limitada quanto o Teste da Comparação Direta para determinar isso, já que comparamos a série original com uma série p conhecida que converge quando .

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