Encontre a série de Maclaurin para
e seu raio de convergência. Você pode usar o método direto (a definição de uma série de Maclaurin) ou séries conhecidas, como a série geométrica, a série binomial ou a série de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a série de Maclaurin para a função
e descobrir qual é o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar a definição da série de Maclaurin e a série conhecida do exponencial
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. Basicamente, é uma forma de representar uma função como uma soma infinita de potências de
. A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função
é:
Onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em 0.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. Primeiro, sabemos que a série de Maclaurin para
é:
Como
, basta multiplicar a série de
por
:
Podemos reescrever isso mudando o índice da soma para ficar mais elegante:
Passo 4
Agora, vamos falar sobre o raio de convergência da série. Sabemos que a série de
tem raio de convergência infinito, ou seja, ela converge para todos os valores de
. Multiplicar por
não altera esse raio, então a série de Maclaurin para
também tem raio de convergência infinito.
Resposta
A série de Maclaurin para
é
e o raio de convergência dessa série é infinito.