Encontre a série de Maclaurin para f e seu raio de convergência. Você pode usar o método direto (a definição de uma série de Maclaurin) ou séries conhecidas, como a série geométrica, a série binomial ou a série de f(x) = x e^(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a série de Maclaurin para a função e descobrir qual é o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar a definição da série de Maclaurin e a série conhecida do exponencial .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. Basicamente, é uma forma de representar uma função como uma soma infinita de potências de . A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função é:
Onde é a -ésima derivada de avaliada em 0.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função . Primeiro, sabemos que a série de Maclaurin para é:
Como , basta multiplicar a série de por :
Podemos reescrever isso mudando o índice da soma para ficar mais elegante:

Passo 4

Agora, vamos falar sobre o raio de convergência da série. Sabemos que a série de tem raio de convergência infinito, ou seja, ela converge para todos os valores de . Multiplicar por não altera esse raio, então a série de Maclaurin para também tem raio de convergência infinito.

Resposta

A série de Maclaurin para é
e o raio de convergência dessa série é infinito.

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