Em cada série a seguir indique quais testes podem ser usados para decidir sobre sua convergência ou a divergência. Justifique sua resposta!
Passo 1
Vamos analisar a série
. O conteúdo principal aqui é convergência de séries. Para decidir se essa série converge ou diverge, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência, como o Teste da Série Geométrica e o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, observamos o comportamento geral dos termos da série. Note que
cresce muito rapidamente conforme
aumenta. Então, a expressão
também cresce rapidamente, fazendo com que
diminua rapidamente para zero.
Passo 3
Vamos comparar nossa série com uma série geométrica conhecida. Consideramos a série
, que é uma série geométrica com razão
. Sabemos que uma série geométrica converge se
.
Passo 4
Agora, comparamos os termos das duas séries:
Como
é maior que
para todo
, e a série geométrica
converge, podemos usar o Teste da Comparação para concluir que nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge. Utilizamos o Teste da Comparação com uma série geométrica convergente para justificar essa conclusão.