Em cada série a seguir indique quais testes podem ser usados para decidir sobre sua convergência ou a divergência. Justifique sua resposta!
sumk=1^infty 2^kk!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar quais testes podemos usar para decidir se a série sumk=1^infty 2^kk! converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é o estudo da convergência de séries infinitas, e vamos precisar conhecer alguns testes de convergência, como o Teste da Razão e o Teste da Raiz. Esses testes ajudam a determinar se a soma infinita de termos realmente resulta em um número finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste é útil quando temos termos que envolvem fatoriais ou exponenciais, como é o caso da nossa série. O Teste da Razão funciona assim: calculamos o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série.
Matematicamente, temos:
L = limk to infty | ak+1ak |
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste não conclui nada.

Passo 3

Vamos calcular essa razão para a nossa série:
ak = 2^kk! e ak+1 = 2^k+1(k+1)!
Então,
ak+1ak = 2^k+1/(k+1)!2^k/k! = 2^k+12^k times k!(k+1)! = 2 times 1k+1 = 2k+1
Agora, calculamos o limite quando L = limk to infty 2k+1 = 0 tende ao infinito:
Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

Passo 4

Além do Teste da Razão, podemos usar o Teste da Raiz, que também é eficaz para séries com termos envolvendo potências. O Teste da Raiz diz que calculamos:
L = limk to infty raiz[k]|ak|
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 5

Vamos aplicar o Teste da Raiz na nossa série:
ak = 2^kk!
Calculando a raiz:
raiz[k]ak = raiz[k]2^kk! = 2raiz[k]k!
Sabemos que limk to infty raiz[k]k! = infty Rightarrow limk to infty 2raiz[k]k! = 0 cresce mais rápido que qualquer exponencial, então:
Como , pelo Teste da Raiz, a série também converge.

Resposta

Portanto, aplicando o Teste da Razão e o Teste da Raiz, concluímos que a série sumk=1^infty 2^kk! converge.

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