Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de séries infinitas na matéria de Cálculo, especificamente sobre convergência de séries. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a série converge de forma absoluta ou condicional, ou se simplesmente diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a série. Podemos reescrevê-la de forma geral como:
Aqui, percebemos que a série é alternada devido ao , ou seja, os termos positivos e negativos se alternam.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a série converge absolutamente. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
Observamos que é aproximadamente igual a 1 quando tende ao infinito. Portanto, a série se comporta como , que é uma série harmônica divergente.
Passo 4
Já que a série dos valores absolutos diverge, ela não é absolutamente convergente. Mas ainda podemos verificar se ela converge de forma condicional usando o Teste da Série Alternada. Para isso, dois critérios devem ser atendidos:
Os termos devem ser decrescentes.
O limite dos termos deve ser zero quando tende ao infinito.
Passo 5
Vamos verificar o primeiro critério. Observamos que:
Conforme aumenta, diminui, então toda a expressão aumenta, ou seja, não é decrescente. Já o segundo critério:
Como o limite não é zero, o teste nos diz que a série diverge.