Cada série a seguir satisfaz o teste da série altenada. Com o valor dado de determine uma cota superior no erro absoluto que resulta se a soma da série for aproximada pela enésima soma parcial.
(b)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série alternada: . O objetivo é descobrir qual é a maior possível diferença (ou erro) entre a soma real dessa série e a soma que a gente obtém ao somar apenas os primeiros 5 termos dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada, que nos ajuda a estimar esse erro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série alternada é aquela onde os sinais dos termos mudam de positivo para negativo ou vice-versa a cada termo. No nosso caso, o faz isso acontecer. Além disso, o Teste da Série Alternada diz que se os termos de uma série alternada diminuem de tamanho e tendem a zero, então a série converge, e o erro ao aproximar a soma com a soma parcial é no máximo o valor do próximo termo que está sendo ignorado.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema, queremos a cota superior do erro ao usar a 5ª soma parcial. Isso significa que o erro vai ser no máximo o valor absoluto do próximo termo após o 5º, ou seja, o 6º termo da série.

Passo 4

Vamos calcular esse 6º termo. A fórmula do termo geral da série é . Então, para , temos:
Como estamos interessados no erro absoluto, ignoramos o sinal:

Resposta

A cota superior do erro absoluto é .

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