Cada série a seguir satisfaz o teste da série altenada. Com o valor dado de
determine uma cota superior no erro absoluto que resulta se a soma da série for aproximada pela enésima soma parcial.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série alternada:
. O objetivo é descobrir qual é a maior possível diferença (ou erro) entre a soma real dessa série e a soma que a gente obtém ao somar apenas os primeiros 5 termos dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada, que nos ajuda a estimar esse erro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série alternada é aquela onde os sinais dos termos mudam de positivo para negativo ou vice-versa a cada termo. No nosso caso, o
faz isso acontecer. Além disso, o Teste da Série Alternada diz que se os termos de uma série alternada diminuem de tamanho e tendem a zero, então a série converge, e o erro ao aproximar a soma com a soma parcial é no máximo o valor do próximo termo que está sendo ignorado.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso problema, queremos a cota superior do erro ao usar a 5ª soma parcial. Isso significa que o erro vai ser no máximo o valor absoluto do próximo termo após o 5º, ou seja, o 6º termo da série.
Passo 4
Vamos calcular esse 6º termo. A fórmula do termo geral da série é
. Então, para
, temos:
Como estamos interessados no erro absoluto, ignoramos o sinal:
Resposta
A cota superior do erro absoluto é
.
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Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(j)
(j)
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(f)
(f)
Considere a função
definida por
(b) Determine uma série de potências para a função
indicando o seu raio de convergência.
Mostre que o valor de
ao redor de qualquer quadrado depende somente da area do quadrado e não de sua localização no plano.