Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(j) sumk=1^infty k sen(1k^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa classificar a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries e algumas dicas de análise de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser absolutamente ou condicionalmente convergente.
  • Absolute Convergence (Convergência Absoluta): Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge.
  • Conditional Convergence (Convergência Condicional): Se converge, mas não converge, então a série converge condicionalmente.
  • Divergence (Divergência): Se a série não converge nem absolutamente nem condicionalmente, ela é divergente.
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 3

Vamos começar analisando a série dos valores absolutos:
sumk=1^infty | k sin(1k^2) |
Sabemos que para valores bem pequenos de sin(1k^2) approx 1k^2 , k cdot 1k^2 = 1k . Então, quando é grande, é bem pequeno, e podemos aproximar:
Portanto, o termo geral da série fica aproximadamente:

Passo 4

Agora, vamos comparar nossa série com a série harmônica , que é conhecida por divergir. Para isso, usamos o Teste de Comparação.
Se os termos da nossa série são aproximadamente iguais aos termos da série harmônica e a série harmônica diverge, então nossa série também tende a divergir.

Passo 5

Além disso, podemos aplicar o Teste da Série P para confirmar. A série p, , converge se e diverge se .
No nosso caso, após a aproximação, temos , que está na fronteira onde a série diverge.

Passo 6

Como a série dos valores absolutos é comparável a uma série que diverge, podemos concluir que não temos convergência absoluta.

Passo 7

Agora, vamos verificar se a série original converge de forma condicional.
Usando a mesma aproximação , a série original se comporta como , que, como já vimos, diverge.

Resposta

Divergente.

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