Considere a função
definida por
(b) Determine uma série de potências para a função
indicando o seu raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma integral:
O objetivo aqui é encontrar uma série de potências para essa função e determinar o raio de convergência dessa série. Isso envolve usar conceitos de cálculo, especialmente integração e séries de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, para encontrar uma série de potências para
, podemos usar a série de Taylor para
, que é válida para
:
Aqui, substituímos
por
:
Passo 4
Substituindo a série na expressão de
:
Podemos trocar a ordem da soma e da integral (desde que a série converja):
Calculando a integral:
Então:
Passo 5
Para deixar a série mais limpa, podemos ajustar o índice, mas já temos uma expressão clara para a série de potências de
. Agora, para encontrar o raio de convergência
, observamos que a série original para
converge quando
, ou seja,
. Como a série de
foi derivada dessa, o raio de convergência permanece o mesmo:
Resposta
A série de potências para a função
é:
E o raio de convergência dessa série é
.