Considere a função f:(0, infty) R definida por
f(x)=integral0^x t ln (11+2 t) d t
(b) Determine uma série de potências para a função f(x) indicando o seu raio de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma integral:
f(x) = integral0^x t ln(11 + 2t) dt
O objetivo aqui é encontrar uma série de potências para essa função e determinar o raio de convergência dessa série. Isso envolve usar conceitos de cálculo, especialmente integração e séries de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que:
ln(11 + 2t) = -ln(1 + 2t)
Então, a função fica:
f(x) = -integral0^x t ln(1 + 2t) dt

Passo 3

Agora, para encontrar uma série de potências para ln(1 + z) = sumn=1^infty (-1)^n+1 z^nn , podemos usar a série de Taylor para ln(1 + 2t) = sumn=1^infty (-1)^n+1 (2t)^nn para |2t| < 1 Rightarrow |t| < 12 , que é válida para :
Aqui, substituímos por :

Passo 4

Substituindo a série na expressão de f(x) = -integral0^x t ( sumn=1^infty (-1)^n+1 (2t)^nn ) dt :
f(x) = -sumn=1^infty (-1)^n+1 2^nn integral0^x t^n+1 dt
Podemos trocar a ordem da soma e da integral (desde que a série converja):
integral0^x t^n+1 dt = x^n+2n+2
Calculando a integral:
f(x) = -sumn=1^infty (-1)^n+1 2^nn cdot x^n+2n+2 = sumn=1^infty (-1)^n 2^nn(n+2) x^n+2
Então:

Passo 5

Para deixar a série mais limpa, podemos ajustar o índice, mas já temos uma expressão clara para a série de potências de R = 12 . Agora, para encontrar o raio de convergência , observamos que a série original para converge quando , ou seja, . Como a série de foi derivada dessa, o raio de convergência permanece o mesmo:

Resposta

A série de potências para a função f(x) = sumn=1^infty (-1)^n 2^nn(n+2) x^n+2 é:
E o raio de convergência dessa série é .

Exercícios relacionados