Considere a função definida por
(b) Determine uma série de potências para a função indicando o seu raio de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma integral:
O objetivo aqui é encontrar uma série de potências para essa função e determinar o raio de convergência dessa série. Isso envolve usar conceitos de cálculo, especialmente integração e séries de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, para encontrar uma série de potências para , podemos usar a série de Taylor para , que é válida para :
Aqui, substituímos por :

Passo 4

Substituindo a série na expressão de :
Podemos trocar a ordem da soma e da integral (desde que a série converja):
Calculando a integral:
Então:

Passo 5

Para deixar a série mais limpa, podemos ajustar o índice, mas já temos uma expressão clara para a série de potências de . Agora, para encontrar o raio de convergência , observamos que a série original para converge quando , ou seja, . Como a série de foi derivada dessa, o raio de convergência permanece o mesmo:

Resposta

A série de potências para a função é:
E o raio de convergência dessa série é .

Exercícios relacionados

Cada série a seguir satisfaz o teste da série altenada. Com o valor dado de determine uma cota superior no erro absoluto que resulta se a soma da série for aproximada pela enésima soma parcial.
(b)
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(j)
Mostre que o valor de ao redor de qualquer quadrado depende somente da area do quadrado e não de sua localização no plano.
Usando a definição, calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
(e)