Mostre que o valor de ao redor de qualquer quadrado depende somente da area do quadrado e não de sua localização no plano.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral de linha ao redor de um caminho que é qualquer quadrado no plano. A integral é dada por:
O objetivo é mostrar que o valor dessa integral depende apenas da área do quadrado e não de onde ele está localizado no plano. Para resolver isso, vamos usar o teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada pelo caminho . Vamos precisar entender derivadas parciais e como aplicar o teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele nos diz que para um campo vetorial , onde e têm derivadas parciais contínuas, a integral de linha ao redor de é igual à integral dupla sobre a região limitada por :
No nosso caso, identificamos e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o teorema de Green:
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do teorema de Green, temos:
Isso significa que a integral dupla fica:
Á

Passo 5

A integral dupla representa apenas a área da região delimitada pelo quadrado . Portanto, substituindo de volta na expressão, temos:
Á

Resposta

O valor da integral é igual a duas vezes a área do quadrado, ou seja:
Á
Isso mostra que o resultado depende somente da área do quadrado e não de sua posição no plano.

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Considere a função definida por
(b) Determine uma série de potências para a função indicando o seu raio de convergência.
Cada série a seguir satisfaz o teste da série altenada. Com o valor dado de determine uma cota superior no erro absoluto que resulta se a soma da série for aproximada pela enésima soma parcial.
(b)
Usando a definição, calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
(e)
Calcule a Transformada de Laplace inversa:
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