Mostre que o valor de
ao redor de qualquer quadrado depende somente da area do quadrado e não de sua localização no plano.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral de linha ao redor de um caminho
que é qualquer quadrado no plano. A integral é dada por:
O objetivo é mostrar que o valor dessa integral depende apenas da área do quadrado e não de onde ele está localizado no plano. Para resolver isso, vamos usar o teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada pelo caminho
. Vamos precisar entender derivadas parciais e como aplicar o teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele nos diz que para um campo vetorial
, onde
e
têm derivadas parciais contínuas, a integral de linha ao redor de
é igual à integral dupla sobre a região
limitada por
:
No nosso caso, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o teorema de Green:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do teorema de Green, temos:
Isso significa que a integral dupla fica:
Passo 5
A integral dupla
representa apenas a área da região
delimitada pelo quadrado
. Portanto, substituindo de volta na expressão, temos:
Resposta
O valor da integral
é igual a duas vezes a área do quadrado, ou seja:
Isso mostra que o resultado depende somente da área do quadrado e não de sua posição no plano.