Mostre que o valor de ointC x y^2 d x+(x^2 y+2 x) d y ao redor de qualquer quadrado depende somente da area do quadrado e não de sua localização no plano.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral de linha ao redor de um caminho ointC x y^2 dx + (x^2 y + 2 x) dy que é qualquer quadrado no plano. A integral é dada por:
O objetivo é mostrar que o valor dessa integral depende apenas da área do quadrado e não de onde ele está localizado no plano. Para resolver isso, vamos usar o teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada pelo caminho . Vamos precisar entender derivadas parciais e como aplicar o teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele nos diz que para um campo vetorial ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA , onde e têm derivadas parciais contínuas, a integral de linha ao redor de é igual à integral dupla sobre a região limitada por :
No nosso caso, identificamos e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o teorema de Green:
  1. Derivada parcial de partial Qpartial x = partialpartial x (x^2 y + 2 x) = 2x y + 2 em relação a partial Ppartial y = partialpartial y (x y^2) = 2x y :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do teorema de Green, temos:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = (2x y + 2) - (2x y) = 2
Isso significa que a integral dupla fica:
integral duplaD 2 , dA = 2 integral duplaD dA = 2 cdot Área(D) Á

Passo 5

A integral dupla ointC x y^2 dx + (x^2 y + 2 x) dy = 2 cdot Área(D) representa apenas a área da região delimitada pelo quadrado . Portanto, substituindo de volta na expressão, temos:
Á

Resposta

O valor da integral 2 cdot Área do quadrado é igual a duas vezes a área do quadrado, ou seja:
Á
Isso mostra que o resultado depende somente da área do quadrado e não de sua posição no plano.

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