Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(f)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que classificar a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso faz parte do conteúdo de séries numéricas e vamos precisar entender sobre convergência absoluta e convergência condicional, além de usar testes de convergência como o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série original:
Essa é uma série alternada porque o termo alterna os sinais dos termos.

Passo 3

Vamos verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada, que diz que se:
  1. Os termos são positivos,
  2. é uma sequência decrescente,
  3. ,
então a série é condicionalmente convergente.

Passo 4

Vamos verificar cada condição:
  1. Positividade: é sempre positivo para .
  2. Decrescimento: Para ver se é decrescente, comparamos com :
Para , esse quociente é menor que 1, então é decrescente.
  1. Limite: Calculamos o limite de quando tende ao infinito:
Porque o fatorial no denominador cresce muito mais rápido que o numerador.

Passo 5

Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, a série é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
©
Em cada item marque com um a alternativa correta, em que V indica verdadeiro e F indica falso.
(b) Se a série é condicionalmente convergente, então converge.
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(j)
Cada série a seguir satisfaz o teste da série altenada. Com o valor dado de determine uma cota superior no erro absoluto que resulta se a soma da série for aproximada pela enésima soma parcial.
(b)