Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(f) sumk=1^infty (-1)^k 5 k(2 k+3)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que classificar a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso faz parte do conteúdo de séries numéricas e vamos precisar entender sobre convergência absoluta e convergência condicional, além de usar testes de convergência como o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série original:
sumk=1^infty (-1)^k 5 k(2 k+3)!
Essa é uma série alternada porque o termo alterna os sinais dos termos.

Passo 3

Vamos verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada, que diz que se:
  1. Os termos são positivos,
  2. é uma sequência decrescente,
  3. ,
então a série é condicionalmente convergente.

Passo 4

Vamos verificar cada condição:
  1. Positividade: bk+1bk = 5(k+1)(2(k+1)+3)! cdot (2k+3)!5k = k+1k cdot 1(2k+5)(2k+4) é sempre positivo para limk to infty 5k(2k+3)! = 0 .
  2. Decrescimento: Para ver se é decrescente, comparamos com :
Para , esse quociente é menor que 1, então é decrescente.
  1. Limite: Calculamos o limite de quando tende ao infinito:
Porque o fatorial no denominador cresce muito mais rápido que o numerador.

Passo 5

Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, a série é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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