Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que classificar a série
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso faz parte do conteúdo de séries numéricas e vamos precisar entender sobre convergência absoluta e convergência condicional, além de usar testes de convergência como o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série original:
Essa é uma série alternada porque o termo
alterna os sinais dos termos.
Passo 3
Vamos verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada, que diz que se:
- Os termos
são positivos, -
é uma sequência decrescente, -
,
então a série é condicionalmente convergente.
Passo 4
Vamos verificar cada condição:
- Positividade:
é sempre positivo para . - Decrescimento: Para ver se
é decrescente, comparamos com :
Para
, esse quociente é menor que 1, então
é decrescente.
- Limite: Calculamos o limite de
quando tende ao infinito:
Porque o fatorial no denominador cresce muito mais rápido que o numerador.
Passo 5
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, a série é condicionalmente convergente.
Resposta
A série
é condicionalmente convergente.
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Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
©
©
Em cada item marque com um
a alternativa correta, em que V indica verdadeiro e F indica falso.
(b) Se a série é condicionalmente convergente, então
converge.
(b) Se a série
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(j)
(j)
Cada série a seguir satisfaz o teste da série altenada. Com o valor dado de
determine uma cota superior no erro absoluto que resulta se a soma da série for aproximada pela enésima soma parcial.
(b)
(b)