Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para classificar a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso faz parte da matéria de séries numéricas, especificamente sobre convergência de séries alternadas. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre convergência absoluta e convergência condicional, além de aplicar alguns testes de convergência que envolvem análise de termos e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos dos termos:

Passo 3

Agora, precisamos determinar se essa série dos valores absolutos converge. Vamos simplificar a expressão:
Sabemos que a série é a série harmônica, que é divergente. Como nosso termo se comporta de forma semelhante à série harmônica para grandes, podemos concluir que a série dos valores absolutos diverge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não é absolutamente convergente. Mas ainda temos a possibilidade de ela ser condicionalmente convergente. Para verificar isso, vamos aplicar o Teste da Série Alternada de Leibniz, que diz que se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero quando tende ao infinito, então a série alternada converge.

Passo 5

Vamos checar as condições do teste:
  1. Positivos: para todo natural.
  2. Decrescentes: Para verificar se , podemos notar que conforme aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, então os termos diminuem.
  3. Limite zero: .
Como todas as condições são satisfeitas, a série alternada converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(b)
Em cada item marque com um a alternativa correta, em que V indica verdadeiro e F indica falso.
(a) Seja a série e seja , para todo . Se , então a série converge.
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(h)
Cada série a seguir satisfaz o teste da série alternada, para cada uma delas determine um valor tal que a enésima soma parcial aproxima a série com a precisão explicitada.
(a) erro