Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(e) sumk=1^infty (-1)^k 3 k4 k^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para classificar a série sumk=1^infty (-1)^k 3 k4 k^2+1 como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso faz parte da matéria de séries numéricas, especificamente sobre convergência de séries alternadas. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre convergência absoluta e convergência condicional, além de aplicar alguns testes de convergência que envolvem análise de termos e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos dos termos:
sumk=1^infty | (-1)^k 3 k4 k^2+1 | = sumk=1^infty 3 k4 k^2+1

Passo 3

Agora, precisamos determinar se essa série dos valores absolutos converge. Vamos simplificar a expressão:
3 k4 k^2+1 approx 3 k4 k^2 = 34 k
Sabemos que a série sumk=1^infty 1k é a série harmônica, que é divergente. Como nosso termo se comporta de forma semelhante à série harmônica para grandes, podemos concluir que a série dos valores absolutos diverge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não é absolutamente convergente. Mas ainda temos a possibilidade de ela ser condicionalmente convergente. Para verificar isso, vamos aplicar o Teste da Série Alternada de Leibniz, que diz que se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero quando tende ao infinito, então a série alternada converge.

Passo 5

Vamos checar as condições do teste:
  1. Positivos: para todo natural.
  2. Decrescentes: Para verificar se , podemos notar que conforme aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, então os termos diminuem.
  3. Limite zero: .
Como todas as condições são satisfeitas, a série alternada converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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