Cada série a seguir satisfaz o teste da série alternada, para cada uma delas determine um valor
tal que a enésima soma parcial aproxima a série com a precisão explicitada.
(b)
, três casas decimais
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar uma série alternada e encontrar um número
tal que a soma das primeiras
parcelas aproxime a série total com uma precisão de três casas decimais. O conteúdo aqui envolve séries alternadas e o teste da série alternada. Para resolver, vamos precisar entender como estimar o erro da soma parcial e encontrar o
adequado para a precisão desejada.
Passo 2
Primeiramente, vamos identificar a série que estamos lidando:
Essa é uma série alternada porque o termo
faz com que os sinais dos termos alternem entre positivo e negativo.
Passo 3
O Teste da Série Alternada nos diz que uma série da forma
converge se:
-
para todo . -
é decrescente. -
.
No nosso caso,
. Vamos verificar essas condições:
- Positividade:
para todo positivo. - Decrescente: Para
crescente, cresce mais r��pido que , então diminui. - Limite:
.
Como todas as condições são satisfeitas, a série converge.
Passo 4
Agora, queremos que a soma parcial
se aproxime da soma total
com uma precisão de três casas decimais. Isso significa que o erro
.
No Teste da Série Alternada, sabemos que o erro é limitado pelo primeiro termo que está faltando na soma parcial. Ou seja:
Então, precisamos encontrar o menor
tal que:
Passo 5
Vamos resolver a inequação:
Essa equação não tem uma solução analítica fácil, então vamos testar valores de
até encontrarmos o que satisfaz a condição.
Passo 6
Vamos calcular
para alguns valores de
:
-
Para
: Ainda maior que 0.0005. -
Para
: Ainda maior. -
Para
: Agora é menor que 0.0005.
Passo 7
Verificamos que para
, o erro
é menor que 0.0005. Portanto,
atende à condição de precisão de três casas decimais.
Resposta
Um valor adequado é
. Assim, a décima soma parcial aproxima a série com precisão de três casas decimais.
Exercícios relacionados
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(i)
(i)
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(g)
(g)
Obtenha o polinômio de Taylor de ordem 3 da função
centrado em
.
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(k)
(k)