Cada série a seguir satisfaz o teste da série alternada, para cada uma delas determine um valor n tal que a enésima soma parcial aproxima a série com a precisão explicitada.
(b) sumk=1^infty (-1)^k ke^k, três casas decimais

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar uma série alternada e encontrar um número tal que a soma das primeiras parcelas aproxime a série total com uma precisão de três casas decimais. O conteúdo aqui envolve séries alternadas e o teste da série alternada. Para resolver, vamos precisar entender como estimar o erro da soma parcial e encontrar o adequado para a precisão desejada.

Passo 2

Primeiramente, vamos identificar a série que estamos lidando:
sumk=1^infty (-1)^k ke^k
Essa é uma série alternada porque o termo faz com que os sinais dos termos alternem entre positivo e negativo.

Passo 3

O Teste da Série Alternada nos diz que uma série da forma converge se:
  1. para todo .
  2. é decrescente.
  3. .
No nosso caso, . Vamos verificar essas condições:
  • Positividade: para todo positivo.
  • Decrescente: Para crescente, cresce mais r��pido que , então diminui.
  • Limite: .
Como todas as condições são satisfeitas, a série converge.

Passo 4

Agora, queremos que a soma parcial |S - Sn| <= an+1 se aproxime da soma total an+1 = n+1e^n+1 < 0.0005 com uma precisão de três casas decimais. Isso significa que o erro .
No Teste da Série Alternada, sabemos que o erro é limitado pelo primeiro termo que está faltando na soma parcial. Ou seja:
Então, precisamos encontrar o menor tal que:

Passo 5

Vamos resolver a inequação:
n+1e^n+1 < 0.0005
Essa equação não tem uma solução analítica fácil, então vamos testar valores de até encontrarmos o que satisfaz a condição.

Passo 6

Vamos calcular a2 = 2e^2 approx 27.389 approx 0.2707 para alguns valores de a6 = 6e^6 approx 6403.429 approx 0.0149 :
  • Para a11 = 11e^11 approx 1159874.1417 approx 0.0001838 :
    Ainda maior que 0.0005.
  • Para :
    Ainda maior.
  • Para :
    Agora é menor que 0.0005.

Passo 7

Verificamos que para , o erro é menor que 0.0005. Portanto, atende à condição de precisão de três casas decimais.

Resposta

Um valor adequado é . Assim, a décima soma parcial aproxima a série com precisão de três casas decimais.

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