Cada série a seguir satisfaz o teste da série alternada, para cada uma delas determine um valor
tal que a enésima soma parcial aproxima a série com a precisão explicitada.
(b)
, três casas decimais
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar uma série alternada e encontrar um número
tal que a soma das primeiras
parcelas aproxime a série total com uma precisão de três casas decimais. O conteúdo aqui envolve séries alternadas e o teste da série alternada. Para resolver, vamos precisar entender como estimar o erro da soma parcial e encontrar o
adequado para a precisão desejada.
Passo 2
Primeiramente, vamos identificar a série que estamos lidando:
Essa é uma série alternada porque o termo
faz com que os sinais dos termos alternem entre positivo e negativo.
Passo 3
O Teste da Série Alternada nos diz que uma série da forma
converge se:
-
para todo . -
é decrescente. -
.
No nosso caso,
. Vamos verificar essas condições:
- Positividade:
para todo positivo. - Decrescente: Para
crescente, cresce mais r��pido que , então diminui. - Limite:
.
Como todas as condições são satisfeitas, a série converge.
Passo 4
Agora, queremos que a soma parcial
se aproxime da soma total
com uma precisão de três casas decimais. Isso significa que o erro
.
No Teste da Série Alternada, sabemos que o erro é limitado pelo primeiro termo que está faltando na soma parcial. Ou seja:
Então, precisamos encontrar o menor
tal que:
Passo 5
Vamos resolver a inequação:
Essa equação não tem uma solução analítica fácil, então vamos testar valores de
até encontrarmos o que satisfaz a condição.
Passo 6
Vamos calcular
para alguns valores de
:
-
Para
: Ainda maior que 0.0005. -
Para
: Ainda maior. -
Para
: Agora é menor que 0.0005.
Passo 7
Verificamos que para
, o erro
é menor que 0.0005. Portanto,
atende à condição de precisão de três casas decimais.
Resposta
Um valor adequado é
. Assim, a décima soma parcial aproxima a série com precisão de três casas decimais.