Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(i)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente classificar a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso envolve entender conceitos de convergência de séries e aplicar alguns testes matemáticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser absolutamente convergente. Uma série é absolutamente convergente se a série formada pelos valores absolutos também converge. Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não, então ela é condicionalmente convergente. Se nem a série original nem a série dos valores absolutos convergem, a série é divergente.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa série: . Primeiro, analisamos a série dos valores absolutos:
Sabemos que alterna entre 1 e -1 para valores inteiros de , então . Então, a série fica:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se essa série converge. Para isso, podemos usar o Teste da Integral. Consideramos a função , que é positiva e decrescente para .
Vamos calcular a integral de de 2 até o infinito:
Infelizmente, essa integral diverge (tende ao infinito), o que significa que a série também diverge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não é absolutamente convergente. Mas será que ela converge de forma condicional?
Para isso, podemos usar o Teste da Série Alternada. Observamos que , então a série pode ser escrita como:
As condições para o teste são:
  1. Os termos são positivos.
  2. .
  3. A sequência é decrescente.
Todas essas condições são satisfeitas. Portanto, pelo Teste da Série Alternada, a série converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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(b) , três casas decimais
Obtenha o polinômio de Taylor de ordem 3 da função centrado em .