Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(g) sumk=1^infty (-1)^k k^42^k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente classificar a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre convergência absoluta e convergência condicional de séries, além de saber como aplicar testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série converge absolutamente. Isso significa que vamos olhar para a série com os valores absolutos dos termos, ou seja, .

Passo 3

Para testar a convergência dessa série sem o sinal alternante, podemos usar o Teste da Razão (Ratio Test). Esse teste funciona assim: calculamos o limite de quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge absolutamente.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão:
limk to infty (k+1)^42^k+1k^42^k = limk to infty (k+1)^42k^4 = 12 limk to infty (1 + 1k)^4 = 12 times 1 = 12
Como , a série converge absolutamente.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos converge, não precisamos verificar a convergência condicional. A série original também converge, e o faz de forma absoluta.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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