Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(k)
(k)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para classificar a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos precisar entender sobre séries infinitas e os testes de convergência para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série infinita
pode convergir de duas formas: absolutamente ou condicionalmente. Se a série dos valores absolutos
converge, dizemos que a série original é absolutamente convergente. Caso contrário, se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não, ela é condicionalmente convergente. Se nem a série original nem a série dos valores absolutos convergem, então a série é divergente.
Passo 3
Vamos analisar a série . Primeiramente, vamos simplificar a expressão dentro do seno. Sabemos que para valores pequenos de
, . Então, para
grande, .
Passo 4
Substituindo essa aproximação na série, temos:
Então, a série se comporta de forma semelhante a
, que é uma p-série com
. Sabemos que essa série converge, já que
.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a série original converge absolutamente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Como , temos:
E como
converge, pelo Teste da Comparação, a série dos valores absolutos também converge.
Resposta
A série é absolutamente convergente.
Exercícios relacionados
Obtenha o polinômio de Taylor de ordem 3 da função
centrado em
.
Cada série a seguir satisfaz o teste da série alternada, para cada uma delas determine um valor
tal que a enésima soma parcial aproxima a série com a precisão explicitada.
(b) , três casas decimais
(b)
Suponha que as séries de potências
e
têm raios de convergência
e
, respectivamente.
(a) Determine os maiores intervalos abertos nos quais essas séries convergem.
(a) Determine os maiores intervalos abertos nos quais essas séries convergem.
Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências
.