Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(k)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para classificar a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos precisar entender sobre séries infinitas e os testes de convergência para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série infinita pode convergir de duas formas: absolutamente ou condicionalmente. Se a série dos valores absolutos converge, dizemos que a série original é absolutamente convergente. Caso contrário, se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não, ela é condicionalmente convergente. Se nem a série original nem a série dos valores absolutos convergem, então a série é divergente.

Passo 3

Vamos analisar a série . Primeiramente, vamos simplificar a expressão dentro do seno. Sabemos que para valores pequenos de , . Então, para grande, .

Passo 4

Substituindo essa aproximação na série, temos:
Então, a série se comporta de forma semelhante a , que é uma p-série com . Sabemos que essa série converge, já que .

Passo 5

Agora, vamos verificar se a série original converge absolutamente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Como , temos:
E como converge, pelo Teste da Comparação, a série dos valores absolutos também converge.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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Obtenha o polinômio de Taylor de ordem 3 da função centrado em .
Cada série a seguir satisfaz o teste da série alternada, para cada uma delas determine um valor tal que a enésima soma parcial aproxima a série com a precisão explicitada.
(b) , três casas decimais
Suponha que as séries de potências e têm raios de convergência e , respectivamente.
(a) Determine os maiores intervalos abertos nos quais essas séries convergem.
Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências .