Obtenha o polinômio de Taylor de ordem 3 da função f(x) = ln(x) centrado em x = e.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado pede para a gente encontrar o polinômio de Taylor de ordem 3 da função centrado em . Isso significa que vamos aproximar a função logarítmica usando um polinômio que leva em conta até a terceira derivada da função no ponto .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como montar o polinômio de Taylor. A fórmula geral para o polinômio de Taylor de ordem centrado em é:
Como queremos até a ordem 3, vamos parar no termo com .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas da função até a terceira ordem:
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  • Função original:
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:

Passo 5

Com todos os valores encontrados, vamos montar o polinômio de Taylor de ordem 3:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar os coeficientes:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 3 da função centrado em é:

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