Obtenha o polinômio de Taylor de ordem 3 da função
centrado em
.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado pede para a gente encontrar o polinômio de Taylor de ordem 3 da função
centrado em
. Isso significa que vamos aproximar a função logarítmica usando um polinômio que leva em conta até a terceira derivada da função no ponto
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como montar o polinômio de Taylor. A fórmula geral para o polinômio de Taylor de ordem
centrado em
é:
Como queremos até a ordem 3, vamos parar no termo com
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas da função
até a terceira ordem:
-
Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
-
Terceira derivada:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
-
Função original:
-
Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
-
Terceira derivada:
Passo 5
Com todos os valores encontrados, vamos montar o polinômio de Taylor de ordem 3:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar os coeficientes:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 3 da função
centrado em
é: