Obtenha o polinômio de Taylor de ordem 3 da função centrado em .

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado pede para a gente encontrar o polinômio de Taylor de ordem 3 da função centrado em . Isso significa que vamos aproximar a função logarítmica usando um polinômio que leva em conta até a terceira derivada da função no ponto .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como montar o polinômio de Taylor. A fórmula geral para o polinômio de Taylor de ordem centrado em é:
Como queremos até a ordem 3, vamos parar no termo com .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas da função até a terceira ordem:
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  • Função original:
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:

Passo 5

Com todos os valores encontrados, vamos montar o polinômio de Taylor de ordem 3:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar os coeficientes:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 3 da função centrado em é:

Exercícios relacionados

Cada série a seguir satisfaz o teste da série alternada, para cada uma delas determine um valor tal que a enésima soma parcial aproxima a série com a precisão explicitada.
(b) , três casas decimais
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(i)
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(k)
Suponha que as séries de potências e têm raios de convergência e , respectivamente.
(a) Determine os maiores intervalos abertos nos quais essas séries convergem.