Para cada uma das séries de potências de abaixo determine o intervalo de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries de potências. A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série . Pra isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar para quais valores de a série vai convergir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que para a série , calculamos o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
No nosso caso, o termo geral an+1an = 1(n+1)+4 x^n+11n+4 x^n = n+4n+5 cdot x é . Então, vamos calcular :
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | n+4n+5 cdot x | = | x | cdot limn to infty n+4n+5 tende ao infinito:
L = |x|
Sabemos que , então:
Passo 5
Aplicando o Teste da Razão:
|x| < 1 Rightarrow L < 1 Rightarrow Convergência ê
|x| > 1 Rightarrow L > 1 Rightarrow Divergência ê
Quando , o teste não conclui, então precisamos verificar esses casos separadamente.