Para cada uma das séries de potências de x abaixo determine o intervalo de convergência: sumn=0^infty 1n+4 x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries de potências. A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série . Pra isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar para quais valores de a série vai convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que para a série L = limn to infty | an+1an | , calculamos o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

No nosso caso, o termo geral an+1an = 1(n+1)+4 x^n+11n+4 x^n = n+4n+5 cdot x é . Então, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | n+4n+5 cdot x | = | x | cdot limn to infty n+4n+5 tende ao infinito:
L = |x|
Sabemos que , então:

Passo 5

Aplicando o Teste da Razão:
|x| < 1 Rightarrow L < 1 Rightarrow Convergência ê
|x| > 1 Rightarrow L > 1 Rightarrow Divergência ê
Quando , o teste não conclui, então precisamos verificar esses casos separadamente.

Passo 6

Vamos verificar sumn=0^infty 1n+4 cdot 1^n = sumn=0^infty 1n+4 :
sumn=0^infty 1n+4 cdot (-1)^n
Isso é uma série harmônica deslocada, que diverge.
Agora, para :
Essa é uma série alternada. Vamos verificar se atende aos critérios do Teste da Série Alternada:
  1. é decrescente.
  2. .
Então, a série converge condicionalmente para .

Resposta

Portanto, o intervalo de convergência da série é:
-1 <= x < 1

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