(a) (
Calcule o rotacional de
e o elemento de área orientado
(em coordenadas cartesianas).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o rotacional de um campo vetorial
e o elemento de área orientado
usando coordenadas cartesianas. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o rotacional, que nos ajuda a entender a “rotação” de um campo vetorial, e o elemento de área orientado, que é fundamental para integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o rotacional. O rotacional de um campo vetorial
é um novo campo vetorial que mede a tendência de
de girar em torno de cada ponto no espaço. Em coordenadas cartesianas, o rotacional (
) é calculado usando a seguinte fórmula:
Passo 3
Agora, vamos entender o elemento de área orientado
. Esse elemento é usado em integrais de superfície e representa uma pequena área na superfície com uma orientação específica dada pelo vetor normal
. Em coordenadas cartesianas, se estamos trabalhando com uma superfície
, o elemento de área orientado pode ser escrito como:
Onde:
-
é o vetor unitário normal à superfície. -
é a área infinitesimal da superfície.
Resposta
Portanto, em coordenadas cartesianas, o rotacional de
é dado por:
E o elemento de área orientado é:
Exercícios relacionados
Calcule
como uma série infinita em torno de
.
Usando a série de
vista em sala de aula, determine a série que representa cada uma das funções abaixo:
Determine o intervalo de convergência da série de potências abaixo. Analise os extremos.
Para cada uma das séries de potências de
abaixo determine o intervalo de convergência: