Determine o intervalo de convergência da série de potências abaixo. Analise os extremos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma série de potências:
O objetivo é descobrir para quais valores de essa série converge, ou seja, onde ela soma para um valor finito. Além disso, precisamos analisar o que acontece nos extremos desse intervalo. Vamos usar conceitos de séries de potências e critérios de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a série de potências na forma geral:
No nosso caso, a série está escrita de uma forma um pouco diferente, mas podemos reescrevê-la para facilitar:
Agora, para determinar o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência .
Passo 3
O Teste da Razão diz que para uma série de potências , calculamos o limite:
Se an+1an = (-1)^n+1 (3x + 2)^n+1(n+1)^2 5^n+1(-1)^n (3x + 2)^nn^2 5^n = (-1)^n+1(-1)^n cdot (3x + 2)^n+1(3x + 2)^n cdot n^2(n+1)^2 cdot 5^n5^n+1, a série converge; se an+1an = (-1) cdot (3x + 2) cdot n^2(n+1)^2 cdot 15, diverge; e se L = limn to infty | (-1) cdot 3x + 25 cdot n^2(n+1)^2 | = limn to infty | 3x + 25 cdot n^2(n+1)^2 |, o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série:
limn to infty n^2(n+1)^2 = 1
Calculando L = | 3x + 25 |:
| 3x + 25 | < 1
Simplificando:
Agora, calculamos o valor absoluto e o limite quando tende ao infinito:
Observamos que:
Então:
Para a série convergir, precisamos que :
Passo 4
Vamos resolver a desigualdade:
| 3x + 25 | < 1
Multiplicando ambos os lados por 5:
|3x + 2| < 5
Agora, removendo o valor absoluto:
-5 < 3x + 2 < 5
Subtraindo 2 de todas as partes:
-7 < 3x < 3
Dividindo por 3:
-73 < x < 1
Então, o intervalo preliminar de convergência é . Mas precisamos verificar o que acontece nos extremos desse intervalo, ou seja, nos pontos e .