Determine o intervalo de convergência da série de potências abaixo. Analise os extremos. sumn=1^infty(-1)^n (3 x+2)^nn^2 5^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma série de potências:
sumn=1^infty (-1)^n (3x + 2)^nn^2 5^n
O objetivo é descobrir para quais valores de essa série converge, ou seja, onde ela soma para um valor finito. Além disso, precisamos analisar o que acontece nos extremos desse intervalo. Vamos usar conceitos de séries de potências e critérios de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série de potências na forma geral:
sumn=1^infty an (x - c)^n
No nosso caso, a série está escrita de uma forma um pouco diferente, mas podemos reescrevê-la para facilitar:
sumn=1^infty (-1)^n (3x + 2)^nn^2 5^n = sumn=1^infty [ (-1)^nn^2 ( 3x + 25 )^n ]
Agora, para determinar o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência .

Passo 3

O Teste da Razão diz que para uma série de potências L = limn to infty | an+1an |, calculamos o limite:
an = (-1)^n (3x + 2)^nn^2 5^n
Se an+1an = (-1)^n+1 (3x + 2)^n+1(n+1)^2 5^n+1(-1)^n (3x + 2)^nn^2 5^n = (-1)^n+1(-1)^n cdot (3x + 2)^n+1(3x + 2)^n cdot n^2(n+1)^2 cdot 5^n5^n+1, a série converge; se an+1an = (-1) cdot (3x + 2) cdot n^2(n+1)^2 cdot 15, diverge; e se L = limn to infty | (-1) cdot 3x + 25 cdot n^2(n+1)^2 | = limn to infty | 3x + 25 cdot n^2(n+1)^2 |, o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série:
limn to infty n^2(n+1)^2 = 1
Calculando L = | 3x + 25 |:
| 3x + 25 | < 1
Simplificando:
Agora, calculamos o valor absoluto e o limite quando tende ao infinito:
Observamos que:
Então:
Para a série convergir, precisamos que :

Passo 4

Vamos resolver a desigualdade:
| 3x + 25 | < 1
Multiplicando ambos os lados por 5:
|3x + 2| < 5
Agora, removendo o valor absoluto:
-5 < 3x + 2 < 5
Subtraindo 2 de todas as partes:
-7 < 3x < 3
Dividindo por 3:
-73 < x < 1
Então, o intervalo preliminar de convergência é . Mas precisamos verificar o que acontece nos extremos desse intervalo, ou seja, nos pontos e .

Passo 5

Análise dos Extremos:
  1. Para sumn=1^infty (-1)^n (3(-73) + 2)^nn^2 5^n = sumn=1^infty (-1)^n (-7 + 2)^nn^2 5^n = sumn=1^infty (-1)^n (-5)^nn^2 5^n:
Substituindo na série original:
sumn=1^infty (-1)^n (-1)^n 5^nn^2 5^n = sumn=1^infty 1n^2
Simplificando:
sumn=1^infty (-1)^n (3(1) + 2)^nn^2 5^n = sumn=1^infty (-1)^n 5^nn^2 5^n = sumn=1^infty (-1)^nn^2
Essa é a série p com , que sabemos que converge porque .
  1. Para :
Substituindo na série original:
Essa também é uma série p alternada com , que converge absolutamente porque a série converge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é , incluindo ambos os extremos.

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