Para cada uma das séries de potências de x abaixo determine o intervalo de convergência: sumn=1^infty(-1)^n-1 1raizn x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty (-1)^n-1 1raizn x^n
Esse exercício é sobre séries de potências e intervalo de convergência. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão e entender um pouquinho sobre séries alternadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência da série. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de L = limn to infty | an+1an | a série converge.
A fórmula do Teste da Razão é:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral an = (-1)^n-1 1raizn x^n da nossa série:
an+1an = (-1)^(n+1)-1 1raizn+1 x^n+1(-1)^n-1 1raizn x^n = (-1) cdot raiznraizn+1 cdot x
Agora, vamos calcular | an+1an | = raiznraizn+1 |x| :
Como estamos interessados no valor absoluto, o fator não interfere:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite conforme L = limn to infty raiznraizn+1 |x| = limn to infty raiznraizn raiz1 + 1n |x| = limn to infty 1raiz1 + 1n |x| = |x| tende ao infinito:
Então, .

Passo 5

Aplicando o Teste da Razão, temos:
  • Se , então e a série converge.
  • Se , então e a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo. Nesse caso, precisamos analisar separadamente.

Passo 6

Vamos verificar os casos onde sumn=1^infty (-1)^n-1 1raizn , ou seja, sumn=1^infty (-1)^n-1 1raizn (-1)^n = sumn=1^infty 1raizn e .
  1. Para :
A série se torna:
Essa é uma série alternada. Vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos decrescem em módulo para zero, a série converge.
Como é positiva, decrescente e tende a zero quando , a série converge.
  1. Para :
A série se torna:
Essa é uma série p com . Sabemos que uma série p converge se . Como , a série diverge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é:
[-1, 1)
Isso significa que a série converge para todos os valores de entre e , incluindo mas excluindo .

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites:
© lim x -infty 3-2 x+5 x^4x^6+5 x^3-x+9
Calcular, por Séries de Potências, o valor do seguintes limites: lim x 0 arctg x-sen xx^3 cos x
Calcule os seguintes limites:
(f) lim x +infty arctg(x)
Calcule os seguintes limites:
(a) lim x +infty 10-11 x+27 x^23 x^2-10