Calcule os seguintes limites:
(f) lim x +infty arctg(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de arctg(x) quando x tende a mais infinito. Esse exercício faz parte do conteúdo de limites em cálculo, e para resolver, vamos precisar entender como a função arco-tangente se comporta quando o valor de x fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função arctg(x). Ela é a função inversa da tangente, ou seja, para cada valor de arctg(x), existe um ângulo cuja tangente é x. Graficamente, a função arco-tangente começa em -pi2 e vai até pi2 conforme x vai de -infty a +infty.

Passo 3

Agora, vamos pensar no que acontece com arctg(x) quando x cresce sem limite, ou seja, quando x to +infty. Sabemos que a tangente de pi2 é indefinida, mas nos aproximamos desse valor pela direita, a tangente cresce sem parar. Logo, a função inversa, arco-tangente, deve se aproximar de pi2 conforme x aumenta muito.

Passo 4

Para deixar claro, consideramos o comportamento assintótico da função arco-tangente. À medida que x fica cada vez maior, arctg(x) se aproxima de pi2, mas nunca ultrapassa esse valor. Isso significa que o limite da função quando x tende a mais infinito é pi2.

Resposta

lim x +infty arctg(x) = dfracpi2

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