Calcular, por Séries de Potências, o valor do seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando Séries de Potências. A questão pede para calcular
. Para isso, vamos precisar conhecer as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções
,
e
. Essas séries nos ajudam a aproximar funções próximas de um ponto, que nesse caso é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as séries de Taylor para cada função até o termo
, já que vamos dividir por
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 3
Agora, vamos substituir essas séries na expressão
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos considerar o denominador
:
Como estamos calculando o limite para
próximo de 0, podemos ignorar termos de ordem superior, então aproximamos:
Passo 5
Agora, colocamos tudo junto na expressão do limite:
Passo 6
Como
está tendendo a 0, o termo
também tende a 0. Portanto, o limite fica:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
e
e
. Verifique que a área de
é igual à área de
.
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
Calcule os seguintes limites:
©
©
Para cada uma das séries de potências de
abaixo determine o intervalo de convergência: