Calcular, por Séries de Potências, o valor do seguintes limites:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando
se aproxima de 0 para a expressão:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas (
e
) e precisamos usar Séries de Potências para encontrar o valor desse limite. Vamos precisar conhecer as expansões em série de
e
ao redor de
.
Passo 2
Vamos começar expandindo a função
em uma série de potências. Sabemos que:
Para o nosso cálculo, vamos considerar até o termo
, já que estamos dividindo por
:
Passo 3
Agora, vamos expandir a função
em uma série de potências. A expansão é um pouco mais complexa:
Novamente, vamos considerar até o termo
:
Passo 4
Agora, vamos substituir as expansões nas funções
e
na expressão original:
Simplificando isso:
Passo 5
Vamos somar os termos
:
Passo 6
Agora, substituímos isso na expressão do limite:
Resposta
O valor do limite é
.
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Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
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Para cada uma das séries de potências de
abaixo determine o intervalo de convergência: