Calcular, por Séries de Potências, o valor do seguintes limites: lim x 0 sen x-tg xx^3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando limx 0 sin x - tan xx^3 se aproxima de 0 para a expressão:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas ( e ) e precisamos usar Séries de Potências para encontrar o valor desse limite. Vamos precisar conhecer as expansões em série de e ao redor de .

Passo 2

Vamos começar expandindo a função sin x = x - x^36 + x^5120 - dots em uma série de potências. Sabemos que:
sin x approx x - x^36
Para o nosso cálculo, vamos considerar até o termo , já que estamos dividindo por :

Passo 3

Agora, vamos expandir a função tan x = x + x^33 + 2x^515 + dots em uma série de potências. A expansão é um pouco mais complexa:
tan x approx x + x^33
Novamente, vamos considerar até o termo :

Passo 4

Agora, vamos substituir as expansões nas funções sin x - tan x approx ( x - x^36 ) - ( x + x^33 ) e sin x - tan x approx x - x^36 - x - x^33 = -x^36 - x^33 na expressão original:
Simplificando isso:

Passo 5

Vamos somar os termos -x^36 - x^33 = -x^36 - 2x^36 = -3x^36 = -x^32 :

Passo 6

Agora, substituímos isso na expressão do limite:
limx 0 sin x - tan xx^3 = limx 0 -x^32 x^3 = limx 0 -12 = -12

Resposta

O valor do limite é .

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