Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que ver se a série converge ou diverge. Vamos usar os conhecimentos sobre séries infinitas e alguns testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: . Isso vai ajudar a gente a entender melhor o comportamento da série.
Explicando rapidinho, quando a gente tem um binômio ao quadrado, a gente expande assim:
Aplicando isso aqui:

Passo 3

Agora, nossa série original fica:
Vamos analisar cada uma dessas partes separadamente.

Passo 4

  1. Série :
    Essa é uma série p com . Sabemos que séries p convergem se . Então, essa parte converge.
  2. Série :
    Também uma série p com . Igual à primeira parte, converge.
  3. Série :
    Aqui, cada termo é 1. Isso significa que a soma está adicionando sempre 1, infinitamente. Essa série é conhecida como série harmônica e diverge, pois não tem um limite finito.

Passo 5

Mesmo que duas das partes da nossa série original convirjam, a terceira parte, que diverge, faz com que toda a série original diverja. Em outras palavras, se qualquer parte da série não tiver um limite, a série completa também não terá.

Resposta

A série diverge.

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Encontre a série de Fourier das funções abaixo, e faça um esboço de seu gráfico.
Nos exercícios seguintes encontre .
(b)
Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge ou diverge.