Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge ou diverge. sumn=1^infty(1n^2+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que ver se a série sumn=1^infty(1n^2+1)^2 converge ou diverge. Vamos usar os conhecimentos sobre séries infinitas e alguns testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: (1n^2 + 1)^2. Isso vai ajudar a gente a entender melhor o comportamento da série.
Explicando rapidinho, quando a gente tem um binômio ao quadrado, a gente expande assim:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Aplicando isso aqui:
(1n^2 + 1)^2 = 1n^4 + 2n^2 + 1

Passo 3

Agora, nossa série original fica:
sumn=1^infty ( 1n^4 + 2n^2 + 1 ) = sumn=1^infty 1n^4 + 2sumn=1^infty 1n^2 + sumn=1^infty 1
Vamos analisar cada uma dessas partes separadamente.

Passo 4

  1. Série :
    Essa é uma série p com . Sabemos que séries p convergem se . Então, essa parte converge.
  2. Série :
    Também uma série p com . Igual à primeira parte, converge.
  3. Série :
    Aqui, cada termo é 1. Isso significa que a soma está adicionando sempre 1, infinitamente. Essa série é conhecida como série harmônica e diverge, pois não tem um limite finito.

Passo 5

Mesmo que duas das partes da nossa série original convirjam, a terceira parte, que diverge, faz com que toda a série original diverja. Em outras palavras, se qualquer parte da série não tiver um limite, a série completa também não terá.

Resposta

A série sumn=1^infty(1n^2+1)^2 diverge.

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