Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que ver se a série
converge ou diverge. Vamos usar os conhecimentos sobre séries infinitas e alguns testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. Isso vai ajudar a gente a entender melhor o comportamento da série.
Explicando rapidinho, quando a gente tem um binômio ao quadrado, a gente expande assim:
Aplicando isso aqui:
Passo 3
Agora, nossa série original fica:
Vamos analisar cada uma dessas partes separadamente.
Passo 4
-
Série
:
Essa é uma série p com. Sabemos que séries p convergem se . Então, essa parte converge. -
Série
:
Também uma série p com. Igual à primeira parte, converge. -
Série
:
Aqui, cada termo é 1. Isso significa que a soma está adicionando sempre 1, infinitamente. Essa série é conhecida como série harmônica e diverge, pois não tem um limite finito.
Passo 5
Mesmo que duas das partes da nossa série original convirjam, a terceira parte, que diverge, faz com que toda a série original diverja. Em outras palavras, se qualquer parte da série não tiver um limite, a série completa também não terá.
Resposta
A série
diverge.
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Encontre a série de Fourier das funções abaixo, e faça um esboço de seu gráfico.
Nos exercícios seguintes encontre
.
(b)
(b)
Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge ou diverge.