Encontre a série de Fourier das funções abaixo, e faça um esboço de seu gráfico. f(x) = x sen(x), -pi < x <= pi, f(x + 2 pi) = f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função no intervalo e com período . Para isso, vamos usar as fórmulas das séries de Fourier, que envolvem calcular os coeficientes , e . Vamos precisar integrar funções e entender como esses coeficientes são determinados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o coeficiente . Esse coeficiente representa a componente constante da série de Fourier e é dado por:
Vamos substituir pela nossa função:
Agora, precisamos resolver essa integral. Sabemos que a integral de uma função ímpar, como , sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes , que multiplicam os cossenos na série de Fourier:
Substituindo :
Vamos simplificar essa expressão usando a identidade trigonométrica:
Então:
Novamente, integrando funções ímpares em intervalos simétricos, cada integral vai dar zero. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos ao coeficiente , que multiplica os senos na série de Fourier:
Substituindo :
Vamos usar outra identidade trigonométrica:
Assim:
Para resolver essas integrais, usamos integração por partes, onde e . Após resolver, encontramos que somente os termos ímpares contribuem, e o resultado final é:
éíé

Resposta

A série de Fourier da função no intervalo e período é dada por:
í
Essa série representa a função original de forma infinita somando senos com coeficientes específicos para os índices ímpares .

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