Encontre a série de Fourier das funções abaixo, e faça um esboço de seu gráfico.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função
no intervalo
e com período
. Para isso, vamos usar as fórmulas das séries de Fourier, que envolvem calcular os coeficientes
,
e
. Vamos precisar integrar funções e entender como esses coeficientes são determinados.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o coeficiente
. Esse coeficiente representa a componente constante da série de Fourier e é dado por:
Vamos substituir
pela nossa função:
Agora, precisamos resolver essa integral. Sabemos que a integral de uma função ímpar, como
, sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes
, que multiplicam os cossenos na série de Fourier:
Substituindo
:
Vamos simplificar essa expressão usando a identidade trigonométrica:
Então:
Novamente, integrando funções ímpares em intervalos simétricos, cada integral vai dar zero. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos ao coeficiente
, que multiplica os senos na série de Fourier:
Substituindo
:
Vamos usar outra identidade trigonométrica:
Assim:
Para resolver essas integrais, usamos integração por partes, onde
e
. Após resolver, encontramos que somente os termos ímpares contribuem, e o resultado final é:
Resposta
A série de Fourier da função
no intervalo
e período
é dada por:
Essa série representa a função original de forma infinita somando senos com coeficientes específicos para os índices ímpares
.