Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos analisar a série
. O que a gente precisa saber aqui é sobre convergência e divergência de séries. Para resolver, vamos usar o Teste do Limite que ajuda a determinar se a série vai somar a algum valor específico ou se ela simplesmente não tem fim.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A gente tem:
Podemos dividir o numerador e o denominador por
para ver o comportamento quando
fica bem grande:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando
tende ao infinito:
Então, o limite é 0.
Passo 4
O Teste do Limite nos diz que se o limite dos termos da série não for zero, a série diverge. Mas se o limite for zero, a série pode ou não convergir; precisamos de outro teste. Como o limite aqui é zero, precisamos continuar.
Passo 5
Vamos comparar nossa série com uma série p, que tem a forma
. Sabemos que a série p converge se
e diverge se
. Nosso termo simplificado é parecido com
, que é uma série p com
.
Passo 6
Como a nossa série se comporta similarmente a uma série p onde
, e sabemos que
diverge, podemos concluir que nossa série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Nos exercícios seguintes encontre
.
(b)
(b)
Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge ou diverge.
Determine a convergências das séries: