Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a série . O que a gente precisa saber aqui é sobre convergência e divergência de séries. Para resolver, vamos usar o Teste do Limite que ajuda a determinar se a série vai somar a algum valor específico ou se ela simplesmente não tem fim.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A gente tem:
Podemos dividir o numerador e o denominador por para ver o comportamento quando fica bem grande:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando tende ao infinito:
Então, o limite é 0.

Passo 4

O Teste do Limite nos diz que se o limite dos termos da série não for zero, a série diverge. Mas se o limite for zero, a série pode ou não convergir; precisamos de outro teste. Como o limite aqui é zero, precisamos continuar.

Passo 5

Vamos comparar nossa série com uma série p, que tem a forma . Sabemos que a série p converge se e diverge se . Nosso termo simplificado é parecido com , que é uma série p com .

Passo 6

Como a nossa série se comporta similarmente a uma série p onde , e sabemos que diverge, podemos concluir que nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Nos exercícios seguintes encontre .
(b)
Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge ou diverge.
Determine a convergências das séries: