Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge ou diverge. sumn=4^infty n^2n^3-3

Passo 1

Beleza, vamos analisar a série sumn=4^infty n^2n^3-3. O que a gente precisa saber aqui é sobre convergência e divergência de séries. Para resolver, vamos usar o Teste do Limite que ajuda a determinar se a série vai somar a algum valor específico ou se ela simplesmente não tem fim.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A gente tem:
n^2n^3-3
Podemos dividir o numerador e o denominador por n^3 para ver o comportamento quando n fica bem grande:
n^2/n^3n^3/n^3 - 3/n^3 = 1/n1 - 3/n^3

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando n tende ao infinito:
limn to infty 1/n1 - 3/n^3 = 01 - 0 = 0
Então, o limite é 0.

Passo 4

O Teste do Limite nos diz que se o limite dos termos da série não for zero, a série diverge. Mas se o limite for zero, a série pode ou não convergir; precisamos de outro teste. Como o limite aqui é zero, precisamos continuar.

Passo 5

Vamos comparar nossa série com uma série p, que tem a forma sum 1n^p. Sabemos que a série p converge se p > 1 e diverge se p <= 1. Nosso termo simplificado é parecido com 1n, que é uma série p com p = 1.

Passo 6

Como a nossa série se comporta similarmente a uma série p onde p = 1, e sabemos que sum 1n diverge, podemos concluir que nossa série original também diverge.

Resposta

A série sumn=4^infty n^2n^3-3 diverge.

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