Verifique a convergência da série
sumn=3^infty 3n^2-3 n+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a série é convergente. Isso está dentro do estudo de séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar analisar os termos da série e aplicar um teste de convergência apropriado.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Temos:
3n^2 - 3n + 2
Vamos fatorar o denominador para ver se conseguimos simplificar a fração.

Passo 3

Fatorando o denominador n^2 - 3n + 2 = (n - 1)(n - 2) :
3(n - 1)(n - 2)
Então, o termo geral fica:

Passo 4

Agora, aplicamos a fração parcial para decompor essa expressão. Queremos encontrar constantes 3(n - 1)(n - 2) = An - 1 + Bn - 2 e 3 = A(n - 2) + B(n - 1) tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Para achar 3 = A(2 - 2) + B(2 - 1) Rightarrow 3 = 0 + B(1) Rightarrow B = 3 e 3 = A(1 - 2) + B(1 - 1) Rightarrow 3 = A(-1) + 0 Rightarrow A = -3 , escolhemos valores de 3(n - 1)(n - 2) = -3n - 1 + 3n - 2 que simplifiquem a equação.
  1. Se :
  1. Se :
Então, temos:

Passo 6

Agora, podemos reescrever a série original usando essa decomposição:
sumn=3^infty ( -3n - 1 + 3n - 2 ) = sumn=3^infty ( 3n - 2 - 3n - 1 )
Isso nos leva a uma série telescópica, onde termos se cancelam ao somar.

Passo 7

Vamos expandir os primeiros termos para ver o padrão de cancelamento:
&( 31 - 32 ) &+ ( 32 - 33 ) &+ ( 33 - 34 ) &+ cdots
Observamos que cancela com , cancela com , e assim por diante. Apenas o primeiro termo permanece, e os demais se cancelam.

Passo 8

Como a série telescópica resulta em apenas um termo não cancelado, podemos calcular a soma parcial:
limn to infty ( 3 - 3n - 1 ) = 3 - 0 = 3

Resposta

A série é convergente e sua soma é igual a 3.

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