Verifique a convergência da série
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a série
é convergente. Isso está dentro do estudo de séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar analisar os termos da série e aplicar um teste de convergência apropriado.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Temos:
Vamos fatorar o denominador para ver se conseguimos simplificar a fração.
Passo 3
Fatorando o denominador
:
Então, o termo geral fica:
Passo 4
Agora, aplicamos a fração parcial para decompor essa expressão. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Para achar
e
, escolhemos valores de
que simplifiquem a equação.
- Se
:
- Se
:
Então, temos:
Passo 6
Agora, podemos reescrever a série original usando essa decomposição:
Isso nos leva a uma série telescópica, onde termos se cancelam ao somar.
Passo 7
Vamos expandir os primeiros termos para ver o padrão de cancelamento:
Observamos que
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante. Apenas o primeiro termo
permanece, e os demais se cancelam.
Passo 8
Como a série telescópica resulta em apenas um termo não cancelado, podemos calcular a soma parcial:
Resposta
A série
é convergente e sua soma é igual a 3.