Determine a convergências das séries: sumn=1^infty 3^1-2 nn^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a série converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries infinitas, como o Teste da Comparação ou o Teste da Razão, que nos ajudam a determinar se uma série infinita soma até um valor finito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sumn=1^infty 3 cdot (19)^nn^2+1 . Sabemos que . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos comparar essa série com uma série conhecida que converge. Observamos que para todo , já que o denominador é maior que .

Passo 4

Sabemos que a série é uma série p, onde , e esse tipo de série converge.

Passo 5

Vamos então usar o Teste da Comparação. Como , e sabemos que converge (pois é um múltiplo de uma série geométrica com razão e uma série p que converge), então a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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