Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Então, a gente tem uma série infinita aqui:
. O objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e técnicas de teste de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. Isso pode ser simplificado usando frações parciais. A ideia é quebrar essa fração em duas partes mais simples.
Passo 3
Vamos escrever
como
. Multiplicando os dois lados por
, temos:
Passo 4
Agora, vamos escolher valores de
para encontrar
e
. Se
:
Se
:
Passo 5
Então, a fração original fica:
Passo 6
Agora, reescrevemos a série com essa nova expressão:
Isso é conhecido como uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam.
Passo 7
Vamos somar os primeiros termos para ver o padrão de cancelamento:
Passo 8
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Resposta
A série
converge e a soma dela é
.
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Encontre o vetor
para o qual
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência para as seguintes séries de potências.
Sendo
,
e uma correspondência entre
e
expressa por
e
, essa correspondência é uma função de
em
?
Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge ou diverge.