Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge ou diverge. sumn=2^infty 7n(n+1)

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita aqui: . O objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e técnicas de teste de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: . Isso pode ser simplificado usando frações parciais. A ideia é quebrar essa fração em duas partes mais simples.

Passo 3

Vamos escrever 7 = A(n+1) + Bn como . Multiplicando os dois lados por , temos:

Passo 4

Agora, vamos escolher valores de 7 = A(0) + B(-1) implies B = -7 para encontrar 7 = A(1) + B(0) implies A = 7 e . Se :
Se :

Passo 5

Então, a fração original fica:
7n(n+1) = 7n - 7n+1

Passo 6

Agora, reescrevemos a série com essa nova expressão:
sumn=2^infty ( 7n - 7n+1 )
Isso é conhecido como uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam.

Passo 7

Vamos somar os primeiros termos para ver o padrão de cancelamento:
SN &= ( 72 - 73 ) + ( 73 - 74 ) + cdots + ( 7N - 7N+1 ) &= 72 - 7N+1

Passo 8

Agora, vamos calcular o limite de limN to infty ( 72 - 7N+1 ) = 72 - 0 = 72 quando tende ao infinito:

Resposta

A série converge e a soma dela é .

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