Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita aqui: . O objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e técnicas de teste de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: . Isso pode ser simplificado usando frações parciais. A ideia é quebrar essa fração em duas partes mais simples.

Passo 3

Vamos escrever como . Multiplicando os dois lados por , temos:

Passo 4

Agora, vamos escolher valores de para encontrar e . Se :
Se :

Passo 5

Então, a fração original fica:

Passo 6

Agora, reescrevemos a série com essa nova expressão:
Isso é conhecido como uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam.

Passo 7

Vamos somar os primeiros termos para ver o padrão de cancelamento:

Passo 8

Agora, vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:

Resposta

A série converge e a soma dela é .

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