Encontre o vetor para o qual

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Queremos encontrar o vetor cuja derivada é igual a e que, no instante , é igual a .
Matéria Envolvida:
Isso envolve Cálculo Vetorial, especialmente equações diferenciais vetoriais.
O que Vamos Precisar:
Precisamos saber como integrar funções vetoriais e aplicar condições iniciais para determinar constantes de integração.

Passo 2

Objetivo:
Para encontrar , vamos integrar a derivada em relação a .
Por Que Integrar?
A integração é o processo inverso da derivação. Se sabemos como está mudando (sua derivada), integrar nos dá a própria função .

Passo 3

Integração das Componentes:
Vamos integrar cada parte da derivada separadamente.
  1. Componente :
  2. Componente :
Resultado da Integração:
onde e são constantes de integração.

Passo 4

Aplicando a Condição Inicial:
Sabemos que . Vamos usar isso para descobrir e .
Substituindo na Função Integrada:
Igualando com a Condição Inicial:

Passo 5

Resolvendo para as Constantes de Integração:
  1. Para a componente :
  2. Para a componente :

Passo 6

Substituindo e na Função Integrada:

Resposta

O vetor é dado por:

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Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência para as seguintes séries de potências.
Nos seguintes exercícios, encontre o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
(b)
Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge ou diverge.
Sendo ,
e uma correspondência entre e expressa por e , essa correspondência é uma função de em ?