Encontre o vetor
para o qual
Passo 1
Resumo do Enunciado:
Queremos encontrar o vetor cuja derivada
é igual a
e que, no instante
,
é igual a
.
Queremos encontrar o vetor
Matéria Envolvida:
Isso envolve Cálculo Vetorial, especialmente equações diferenciais vetoriais.
Isso envolve Cálculo Vetorial, especialmente equações diferenciais vetoriais.
O que Vamos Precisar:
Precisamos saber como integrar funções vetoriais e aplicar condições iniciais para determinar constantes de integração.
Precisamos saber como integrar funções vetoriais e aplicar condições iniciais para determinar constantes de integração.
Passo 2
Objetivo:
Para encontrar , vamos integrar a derivada
em relação a
.
Para encontrar
Por Que Integrar?
A integração é o processo inverso da derivação. Se sabemos como está mudando (sua derivada), integrar nos dá a própria função
.
A integração é o processo inverso da derivação. Se sabemos como
Passo 3
Integração das Componentes:
Vamos integrar cada parte da derivada separadamente.
Vamos integrar cada parte da derivada separadamente.
-
Componente
: -
Componente
:
Resultado da Integração:
onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Aplicando a Condição Inicial:
Sabemos que . Vamos usar isso para descobrir
e
.
Sabemos que
Substituindo
na Função Integrada:
Igualando com a Condição Inicial:
Passo 5
Resolvendo para as Constantes de Integração:
-
Para a componente
: -
Para a componente
:
Passo 6
Substituindo
e
na Função Integrada:
Resposta
O vetor
é dado por:
Exercícios relacionados
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência para as seguintes séries de potências.
Nos seguintes exercícios, encontre o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
(b)
(b)
Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge ou diverge.
Sendo
,
e uma correspondência entre
e
expressa por
e
, essa correspondência é uma função de
em
?