Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência para as seguintes séries de potências.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado nos pede para determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência para a série de potências:
Isso envolve entender um pouco sobre séries de potências e como determinar onde elas convergem usando critérios matemáticos específicos.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é o raio de convergência. Basicamente, ele nos diz até que ponto (qual intervalo de valores de ) a série vai “funcionar”, ou seja, onde ela vai convergir para um valor específico.
Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de Cauchy), que é uma técnica comum para analisar a convergência de séries que envolvem fatoriais ou potências.

Passo 3

O Teste da Razão diz o seguinte: para uma série , calculamos o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão à nossa série:
Então,
Agora, vamos calcular :

Passo 5

Agora, aplicamos o limite conforme o Teste da Razão:
Aqui, vemos que , então:

Passo 6

Segundo o Teste da Razão, se , a série diverge. No nosso caso, , que é claramente maior que 1, independente do valor de .
Isso significa que a série não converge para nenhum valor de . Ou seja, não há um intervalo de onde a série converge.

Resposta

O raio de convergência é zero e não existe um intervalo de convergência para a série . A série diverge para todo valor de .

Exercícios relacionados

Nos seguintes exercícios, encontre o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
(b)
Determine a convergências das séries:
Encontre o vetor para o qual
Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge ou diverge.