Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência para as seguintes séries de potências. sumn=0^infty n!(2 x+1)^n

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado nos pede para determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência para a série de potências:
sumn=0^infty n!(2x + 1)^n
Isso envolve entender um pouco sobre séries de potências e como determinar onde elas convergem usando critérios matemáticos específicos.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é o raio de convergência. Basicamente, ele nos diz até que ponto (qual intervalo de valores de ) a série vai “funcionar”, ou seja, onde ela vai convergir para um valor específico.
Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de Cauchy), que é uma técnica comum para analisar a convergência de séries que envolvem fatoriais ou potências.

Passo 3

O Teste da Razão diz o seguinte: para uma série L = limn to infty | an+1an | , calculamos o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão à nossa série:
an = n!(2x + 1)^n
Então,
an+1 = (n+1)!(2x + 1)^n+1
Agora, vamos calcular an+1an = (n+1)!(2x + 1)^n+1n!(2x + 1)^n = (n+1)(2x + 1) :

Passo 5

Agora, aplicamos o limite conforme o Teste da Razão:
L = limn to infty |(n+1)(2x + 1)| = |2x + 1| cdot limn to infty (n+1)
Aqui, vemos que L = |2x + 1| cdot infty = infty , então:

Passo 6

Segundo o Teste da Razão, se , a série diverge. No nosso caso, , que é claramente maior que 1, independente do valor de .
Isso significa que a série não converge para nenhum valor de . Ou seja, não há um intervalo de onde a série converge.

Resposta

O raio de convergência é zero e não existe um intervalo de convergência para a série . A série diverge para todo valor de .

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