Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência para as seguintes séries de potências.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado nos pede para determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência para a série de potências:
Isso envolve entender um pouco sobre séries de potências e como determinar onde elas convergem usando critérios matemáticos específicos.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é o raio de convergência. Basicamente, ele nos diz até que ponto (qual intervalo de valores de ) a série vai “funcionar”, ou seja, onde ela vai convergir para um valor específico.
Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de Cauchy), que é uma técnica comum para analisar a convergência de séries que envolvem fatoriais ou potências.
Passo 3
O Teste da Razão diz o seguinte: para uma série , calculamos o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.