Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O conteúdo envolvido aqui é o estudo de séries infinitas e, mais especificamente, os testes para determinar se uma série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar os termos da série com uma série conhecida e usar propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. Observamos que:
Então, podemos reescrever a fração da série da seguinte forma:
Passo 3
Agora, percebemos que para grandes valores de
, o termo
no denominador vai dominar
, que é limitado entre 0 e 1. Portanto, podemos aproximar o denominador por
para facilitar a análise:
Passo 4
Agora, vamos analisar a série simplificada:
Sabemos que
está sempre entre 0 e 1, ou seja,
. Portanto, podemos comparar nossa série com a série geométrica:
Passo 5
A série geométrica
é conhecida por convergir, já que a razão
é menor que 1. Isso significa que nossa série comparada também irá convergir, pois os termos da nossa série são menores ou iguais aos termos da série geométrica convergente.
Passo 6
Como usamos uma série convergente para comparar e mostramos que os termos da nossa série original são menores, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a série original também converge.
Resposta
A série
converge.
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Sendo
,
e uma correspondência entre
e
expressa por
e
, essa correspondência é uma função de
em
?
Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge ou diverge.
Verifique a convergência da série
Determine a convergências das séries: