Verifique a convergência da série
sumn=0^infty (-1)^n+3n^3+4 n+1

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para verificar se a série
sumn=0^infty (-1)^n+3n^3+4n+1
converge ou não. O conteúdo que vamos usar envolve séries infinitas, especificamente séries alternadas, e vamos precisar entender como testar a convergência delas usando alguns critérios matemáticos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a série e identificar o que está acontecendo. A gente tem um termo geral da forma (-1)^n+3n^3+4n+1. O (-1)^n+3 indica que os termos estão alternando de sinal: positivo, negativo, positivo, e assim por diante. Isso caracteriza uma série alternada.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada
sumn=0^infty (-1)^n an
converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos an são positivos,
  2. Os termos an são decrescentes,
  3. an tende a zero quando n tende ao infinito.
No nosso caso, an = 1n^3+4n+1. Vamos verificar essas condições:
  1. Positividade: Como o denominador n^3+4n+1 é sempre positivo para n >= 0, an é positivo.
  2. Decrescência: A função an diminui conforme n aumenta, já que o denominador cresce mais rápido que o numerador.
  3. Tendência a zero: Quando n vai para o infinito, n^3+4n+1 também vai para o infinito, fazendo com que an vá para zero.
Como todas as condições são satisfeitas, a série passa no Teste da Série Alternada e, portanto, converge.

Passo 4

Além disso, vamos verificar se a série converge absolutamente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
sumn=0^infty | (-1)^n+3n^3+4n+1 | = sumn=0^infty 1n^3+4n+1
Comparando com a série sumn=0^infty 1n^3, que é uma série p com p=3 (e sabemos que converge se p>1), percebemos que 1n^3+4n+1 < 1n^3. Assim, por comparação, a série dos valores absolutos também converge. Portanto, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série
sumn=0^infty (-1)^n+3n^3+4n+1
converge absolutamente.

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