Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para verificar se a série
converge ou não. O conteúdo que vamos usar envolve séries infinitas, especificamente séries alternadas, e vamos precisar entender como testar a convergência delas usando alguns critérios matemáticos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a série e identificar o que está acontecendo. A gente tem um termo geral da forma . O indica que os termos estão alternando de sinal: positivo, negativo, positivo, e assim por diante. Isso caracteriza uma série alternada.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada
converge se duas condições forem satisfeitas:
Os termos são positivos,
Os termos são decrescentes,
tende a zero quando tende ao infinito.
No nosso caso, . Vamos verificar essas condições:
Positividade: Como o denominador é sempre positivo para , é positivo.
Decrescência: A função diminui conforme aumenta, já que o denominador cresce mais rápido que o numerador.
Tendência a zero: Quando vai para o infinito, também vai para o infinito, fazendo com que vá para zero.
Como todas as condições são satisfeitas, a série passa no Teste da Série Alternada e, portanto, converge.
Passo 4
Além disso, vamos verificar se a série converge absolutamente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Comparando com a série , que é uma série p com (e sabemos que converge se ), percebemos que . Assim, por comparação, a série dos valores absolutos também converge. Portanto, a série original converge absolutamente.