Verifique a convergência da série

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para verificar se a série
converge ou não. O conteúdo que vamos usar envolve séries infinitas, especificamente séries alternadas, e vamos precisar entender como testar a convergência delas usando alguns critérios matemáticos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a série e identificar o que está acontecendo. A gente tem um termo geral da forma . O indica que os termos estão alternando de sinal: positivo, negativo, positivo, e assim por diante. Isso caracteriza uma série alternada.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada
converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são positivos,
  2. Os termos são decrescentes,
  3. tende a zero quando tende ao infinito.
No nosso caso, . Vamos verificar essas condições:
  1. Positividade: Como o denominador é sempre positivo para , é positivo.
  2. Decrescência: A função diminui conforme aumenta, já que o denominador cresce mais rápido que o numerador.
  3. Tendência a zero: Quando vai para o infinito, também vai para o infinito, fazendo com que vá para zero.
Como todas as condições são satisfeitas, a série passa no Teste da Série Alternada e, portanto, converge.

Passo 4

Além disso, vamos verificar se a série converge absolutamente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Comparando com a série , que é uma série p com (e sabemos que converge se ), percebemos que . Assim, por comparação, a série dos valores absolutos também converge. Portanto, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série
converge absolutamente.

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Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge ou diverge.
Sendo ,
e uma correspondência entre e expressa por e , essa correspondência é uma função de em ?
Determine a convergências das séries:
Determine a convergências das séries: