Determine a convergências das séries: sumn=0^infty (2 n)!5 n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente determinar se a série converge ou não. Isso está ligado ao estudo de séries infinitas, que são somas com um número infinito de termos. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns testes de convergência, que são métodos para verificar se a série soma a um número finito ou se ela “explode” e não tem soma definida.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a série:
sumn=0^infty (2n)!5n + 1
Aqui, representa o fatorial de , que cresce muito rápido conforme aumenta. O denominador cresce linearmente, ou seja, de forma bem mais lenta.

Passo 3

Para determinar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é útil quando os termos da série envolvem fatoriais ou exponenciais, que crescem rapidamente. O teste da razão nos ajuda a comparar a velocidade de crescimento dos termos quando aumenta.

Passo 4

O Teste da Razão funciona assim: calculamos o limite
L = limn to infty | an+1an |
onde é o termo geral da série. Se , a s��rie converge; se , a série diverge; e se , o teste não é conclusivo.

Passo 5

Vamos aplicar isso na nossa série. Primeiro, identificamos an+1 = (2(n+1))!5(n+1) + 1 = (2n + 2)!5n + 6 . Então,
an+1an = (2n + 2)!5n + 6 times 5n + 1(2n)! = (2n + 2)(2n + 1)5n + 6 times (5n + 1)
Agora, calculamos a razão:
an+1an = (2n + 2)(2n + 1)(5n + 1)5n + 6
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty (2n + 2)(2n + 1)(5n + 1)5n + 6 tende ao infinito:
L approx limn to infty 4n^2 times 5n5n = limn to infty 4n^2 = infty
Podemos simplificar observando os termos de maior grau:
Então, tende ao infinito, que é claramente maior que 1.

Resposta

Como , pelo Teste da Razão, a série não converge.

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