Para cada sistema linear dado, encontre todos os valores de a para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções:
(a) lx+2 y-3 z=4 3 x-y+5 z=2 4 x+y+(a^2-14) z=a+2
(b) lx+y+z=2 2 x+3 y+2 z=5 2 x+3 y+(a^2-1) z=a+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. A gente tem um sistema de equações lineares com um parâmetro . O objetivo é descobrir para quais valores de o sistema não tem solução, tem uma solução única ou tem infinitas soluções. Para resolver isso, vamos usar matrizes e determinantes para analisar o sistema.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o sistema na forma aumentada, que inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes:
1 & 2 & -3 & | & 4 3 & -1 & 5 & | & 2 4 & 1 & a^2 - 14 & | & a + 2

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes para verificar se o sistema tem solução única. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma solução única.
A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & a^2 - 14
O determinante de det(A) = 1 cdot ( (-1)(a^2 - 14) - 5 cdot 1 ) - 2 cdot ( 3(a^2 - 14) - 5 cdot 4 ) + (-3) cdot ( 3 cdot 1 - (-1) cdot 4 ) é calculado da seguinte forma:
det(A) = 1 cdot (-a^2 + 14 - 5) - 2 cdot (3a^2 - 42 - 20) -3 cdot (3 + 4)
Simplificando:
det(A) = (-a^2 + 9) - 2(3a^2 - 62) - 3(7)
det(A) = -a^2 + 9 -6a^2 + 124 -21
det(A) = -7a^2 + 112

Passo 4

Agora, vamos analisar o valor do determinante:
det(A) = -7a^2 + 112
Queremos saber para quais valores de -7a^2 + 112 = 0 implies 7a^2 = 112 implies a^2 = 16 implies a = pm 4 esse determinante é zero, positivo ou negativo.
Resolvendo :

Passo 5

Com isso, temos três casos:
  1. Determinante diferente de zero ( ): O sistema tem uma solução única.
  2. Determinante igual a zero ( ): Precisamos verificar se há inconsistência para saber se não tem solução ou tem infinitas soluções.

Passo 6

Vamos verificar 4x + y + (4^2 - 14)z = 4 + 2 implies 4x + y + 2z = 6 e x + 2y - 3z = 4 3x - y + 5z = 2 4x + y + 2z = 6 :
  • Para 4x + y + ((-4)^2 - 14)z = -4 + 2 implies 4x + y + 2z = -2 :
    Substituindo na terceira equação:
    x + 2y - 3z = 4 3x - y + 5z = 2 4x + y + 2z = -2
    Agora, resolvemos o sistema com :
    Após resolver, vemos que as equações são consistentes, então tem infinitas soluções.
  • Para :
    Substituindo na terceira equação:
    Resolvendo o sistema com :
    Aqui, ao resolver, percebemos que as equações são incompatíveis, então não tem solução.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b) do exercício. Temos outro sistema de equações lineares com um parâmetro . O objetivo continua sendo encontrar para quais valores de o sistema não tem solução, tem uma solução única ou tem infinitas soluções. Usaremos os mesmos conceitos de matrizes e determinantes.

Passo 8

Escrevemos o sistema na forma aumentada:
1 & 1 & 1 & | & 2 2 & 3 & 2 & | & 5 2 & 3 & a^2 -1 & | & a +1

Passo 9

Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:
B = 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 2 & 3 & a^2 -1
O determinante de det(B) = 1 cdot (3(a^2 -1) - 2 cdot 3) - 1 cdot (2(a^2 -1) - 2 cdot 2) + 1 cdot (2 cdot 3 - 3 cdot 2) é:
det(B) = 1 cdot (3a^2 -3 -6) -1 cdot (2a^2 -2 -4) +1 cdot (6 -6)
det(B) = (3a^2 -9) - (2a^2 -6) + 0
det(B) = 3a^2 -9 -2a^2 +6
det(B) = a^2 -3

Passo 10

Analisamos o determinante :
  1. Determinante diferente de zero ( ): O sistema tem uma solução ��nica.
  2. Determinante igual a zero ( ): Precisamos verificar a consistência do sistema para saber se não tem solução ou tem infinitas soluções.

Passo 11

Vamos verificar 2x + 3y + (raiz3^2 -1)z = raiz3 +1 implies 2x + 3y + 2z = raiz3 +1 e x + y + z = 2 2x + 3y + 2z = 5 2x + 3y + 2z = raiz3 +1 :
  • Para 2x + 3y + ((-raiz3)^2 -1)z = -raiz3 +1 implies 2x + 3y + 2z = -raiz3 +1 :
    Substituindo na terceira equação:
    x + y + z = 2 2x + 3y + 2z = 5 2x + 3y + 2z = -raiz3 +1
    Resolvendo o sistema com :
    Observamos que a segunda e a terceira equação são diferentes, mas a mesma combinação de . Isso gera uma inconsistência, então não tem solução.
  • Para :
    Substituindo na terceira equação:
    Resolvendo o sistema com :
    Novamente, temos uma inconsistência entre a segunda e a terceira equação, então não tem solução.

Resposta

Para o sistema (b):
  • Não tem solução quando .
  • Tem solução única para todos os valores de exceto .
  • Nunca tem infinitas soluções.

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