Para cada sistema linear dado, encontre todos os valores de para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções:
(a)
(b) lx+y+z=2 2 x+3 y+2 z=5 2 x+3 y+(a^2-1) z=a+1
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. A gente tem um sistema de equações lineares com um parâmetro . O objetivo é descobrir para quais valores de o sistema não tem solução, tem uma solução única ou tem infinitas soluções. Para resolver isso, vamos usar matrizes e determinantes para analisar o sistema.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o sistema na forma aumentada, que inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes:
Agora, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes para verificar se o sistema tem solução única. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma solução única.
A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & a^2 - 14
O determinante de det(A) = 1 cdot ( (-1)(a^2 - 14) - 5 cdot 1 ) - 2 cdot ( 3(a^2 - 14) - 5 cdot 4 ) + (-3) cdot ( 3 cdot 1 - (-1) cdot 4 ) é calculado da seguinte forma:
Queremos saber para quais valores de -7a^2 + 112 = 0 implies 7a^2 = 112 implies a^2 = 16 implies a = pm 4 esse determinante é zero, positivo ou negativo.
Resolvendo :
Passo 5
Com isso, temos três casos:
Determinante diferente de zero (): O sistema tem uma solução única.
Determinante igual a zero (): Precisamos verificar se há inconsistência para saber se não tem solução ou tem infinitas soluções.
Passo 6
Vamos verificar 4x + y + (4^2 - 14)z = 4 + 2 implies 4x + y + 2z = 6 e x + 2y - 3z = 4 3x - y + 5z = 2 4x + y + 2z = 6 :
Para 4x + y + ((-4)^2 - 14)z = -4 + 2 implies 4x + y + 2z = -2 :
Substituindo na terceira equação:
x + 2y - 3z = 4 3x - y + 5z = 2 4x + y + 2z = -2
Agora, resolvemos o sistema com :
Após resolver, vemos que as equações são consistentes, então tem infinitas soluções.
Para :
Substituindo na terceira equação:
Resolvendo o sistema com :
Aqui, ao resolver, percebemos que as equações são incompatíveis, então não tem solução.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b) do exercício. Temos outro sistema de equações lineares com um parâmetro . O objetivo continua sendo encontrar para quais valores de o sistema não tem solução, tem uma solução única ou tem infinitas soluções. Usaremos os mesmos conceitos de matrizes e determinantes.