Determine a equação geral do plano determinado pelo ponto e pela reta .
Resposta: y+z=0
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação geral de um plano que passa por um ponto específico x = 2t y = 1 + t z = -1 - t (t in R) e por uma reta definida pelas equações paramétricas:
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a direção da reta d = (2, 1, -1) . As equações paramétricas nos mostram como cada coordenada varia com o parâmetro . A direção da reta é dada pelo vetor diretor, que é composto pelos coeficientes de :
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular ao plano que queremos determinar. Para isso, vamos usar o ponto e qualquer ponto da reta . Vamos escolher, por exemplo, na reta , o que nos dá o ponto .
Passo 4
Com os pontos PQ = Q - P = (0 - 2, 1 - 1, -1 - (-1)) = (-2, 0, 0) e n = d times PQ = i & j & k 2 & 1 & -1 -2 & 0 & 0 = (0 cdot 0 - (-1) cdot 0)i - (2 cdot 0 - (-1) cdot (-2))j + (2 cdot 0 - 1 cdot (-2))k = (0)i - (0 - 2)j + (0 + 2)k = (0, 2, 2) , podemos formar um vetor que está no plano:
Agora, temos dois vetores no plano: e . Para encontrar o vetor normal ao plano, calculamos o produto vetorial desses dois vetores:
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 5
Com o vetor normal n cdot (r - r0) = 0 e o ponto 0(x - 2) + 2(y - 1) + 2(z + 1) = 0 , podemos usar a equação geral do plano: