Para cada um dos sistemas abaixo apresentados de realimentação unitária e negativa, traçar o CLR indicando os possíveis pontos notáveis (saida ou chegada sobre o eixo real e cruzamento com o eixo imaginário):
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para traçarmos o Lugar das Raízes em Malha Fechada (CLR) para o sistema de realimentação negativa unitária dado por:
Aqui, vamos usar conceitos de teoria de controle, mais especificamente sobre o Lugar das Raízes, que nos ajuda a entender como as raízes da equação característica do sistema se comportam quando o ganho varia. Vamos precisar identificar os pontos notáveis onde o CLR cruza o eixo real e onde ele intercepta o eixo imaginário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para sistemas de realimentação negativa unitária, a equação característica é dada por:
Substituindo :
Essa equação nos dá:
Vamos simplificar essa expressão para encontrar a equação característica.

Passo 3

Vamos expandir os termos:
Primeiro, calcule :
Agora, some os termos semelhantes:
Portanto, a equação característica fica:
Ou seja:

Passo 4

Para traçar o CLR, precisamos identificar os pontos notáveis onde o lugar das raízes cruza os eixos real e imaginário.
Interseção com o eixo real:
Para encontrar esses pontos, consideramos real. Substituindo , a equação característica se torna:
Isso é uma equação polinomial quartica que dependerá do valor de . Para encontrar os pontos específicos, precisaríamos resolver essa equação para diferentes valores de , o que geralmente é feito graficamente ou com auxílio de software.
Interseção com o eixo imaginário:
Para encontrar onde o CLR cruza o eixo imaginário, assumimos , onde é a unidade imaginária e é a frequência.
Substituindo na equação característica:
Vamos simplificar isso usando as propriedades de :
Sabendo que , , e :
Separando as partes reais e imaginárias:
Parte real:
Parte imaginária:

Passo 5

Vamos resolver a parte imaginária para encontrar possíveis valores de :
Fatorando :
Isso nos dá duas soluções:
  1. (não relevante para cruzamento com eixo imaginário)
Agora, substituímos na parte real:
Calculando:
Então:
Portanto, o sistema cruza o eixo imaginário quando .

Resposta

Após analisar o sistema, identificamos que o Lugar das Raízes em Malha Fechada (CLR) cruza o eixo imaginário no ponto para . Além disso, os cruzamentos com o eixo real dependem de resolver a equação característica para diferentes valores de , podendo ser determinados graficamente ou com auxílio de ferramentas computacionais.

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