Para cada um dos sistemas abaixo apresentados de realimentação unitária e negativa, traçar o CLR indicando os possíveis pontos notáveis (saida ou chegada sobre o eixo real e cruzamento com o eixo imaginário):
(e) G(s)=K(s^2+2 s+2)(s^2+2 s+5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para traçarmos o Lugar das Raízes em Malha Fechada (CLR) para o sistema de realimentação negativa unitária dado por:
G(s) = K(s^2 + 2s + 2)(s^2 + 2s + 5)
Aqui, vamos usar conceitos de teoria de controle, mais especificamente sobre o Lugar das Raízes, que nos ajuda a entender como as raízes da equação característica do sistema se comportam quando o ganho varia. Vamos precisar identificar os pontos notáveis onde o CLR cruza o eixo real e onde ele intercepta o eixo imaginário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para sistemas de realimentação negativa unitária, a equação característica é dada por:
1 + G(s) = 0
Substituindo 1 + K(s^2 + 2s + 2)(s^2 + 2s + 5) = 0 :
(s^2 + 2s + 2)(s^2 + 2s + 5) + K = 0
Essa equação nos dá:
Vamos simplificar essa expressão para encontrar a equação característica.

Passo 3

Vamos expandir os termos:
Primeiro, calcule = s^4 + 2s^3 + 5s^2 + 2s^3 + 4s^2 + 10s + 2s^2 + 4s + 10 :
s^4 + (2s^3 + 2s^3) + (5s^2 + 4s^2 + 2s^2) + (10s + 4s) + 10
Agora, some os termos semelhantes:
= s^4 + 4s^3 + 11s^2 + 14s + 10
s^4 + 4s^3 + 11s^2 + 14s + 10 + K = 0
Portanto, a equação característica fica:
s^4 + 4s^3 + 11s^2 + 14s + (10 + K) = 0
Ou seja:

Passo 4

Para traçar o CLR, precisamos identificar os pontos notáveis onde o lugar das raízes cruza os eixos real e imaginário.
Interseção com o eixo real:
Para encontrar esses pontos, consideramos sigma^4 + 4sigma^3 + 11sigma^2 + 14sigma + (10 + K) = 0 real. Substituindo (jomega)^4 + 4(jomega)^3 + 11(jomega)^2 + 14(jomega) + (10 + K) = 0 , a equação característica se torna:
(j^4)omega^4 + 4(j^3)omega^3 + 11(j^2)omega^2 + 14jomega + (10 + K) = 0
Isso é uma equação polinomial quartica que dependerá do valor de omega^4 - 4jomega^3 - 11omega^2 + 14jomega + (10 + K) = 0 . Para encontrar os pontos específicos, precisaríamos resolver essa equação para diferentes valores de omega^4 - 11omega^2 + (10 + K) = 0 , o que geralmente é feito graficamente ou com auxílio de software.
Interseção com o eixo imaginário:
Para encontrar onde o CLR cruza o eixo imaginário, assumimos -4omega^3 + 14omega = 0 , onde é a unidade imaginária e é a frequência.
Substituindo na equação característica:
Vamos simplificar isso usando as propriedades de :
Sabendo que , , e :
Separando as partes reais e imaginárias:
Parte real:
Parte imaginária:

Passo 5

Vamos resolver a parte imaginária para encontrar possíveis valores de -4omega^3 + 14omega = 0 :
omega(-4omega^2 + 14) = 0
Fatorando (1.87)^4 - 11(1.87)^2 + (10 + K) = 0 :
(1.87)^4 approx 12.17
Isso nos dá duas soluções:
  1. 11(1.87)^2 approx 11 times 3.5 = 38.5 (não relevante para cruzamento com eixo imaginário)
  2. 12.17 - 38.5 + 10 + K = 0
Agora, substituímos -16.33 + K = 0 Rightarrow K = 16.33 na parte real:
Calculando:
Então:
Portanto, o sistema cruza o eixo imaginário quando .

Resposta

Após analisar o sistema, identificamos que o Lugar das Raízes em Malha Fechada (CLR) cruza o eixo imaginário no ponto para . Além disso, os cruzamentos com o eixo real dependem de resolver a equação característica para diferentes valores de , podendo ser determinados graficamente ou com auxílio de ferramentas computacionais.

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