Para cada um dos sistemas abaixo apresentados de realimentação unitária e negativa, traçar o CLR indicando os possíveis pontos notáveis (saida ou chegada sobre o eixo real e cruzamento com o eixo imaginário):
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para traçarmos o Lugar das Raízes em Malha Fechada (CLR) para o sistema de realimentação negativa unitária dado por:
Aqui, vamos usar conceitos de teoria de controle, mais especificamente sobre o Lugar das Raízes, que nos ajuda a entender como as raízes da equação característica do sistema se comportam quando o ganho
varia. Vamos precisar identificar os pontos notáveis onde o CLR cruza o eixo real e onde ele intercepta o eixo imaginário.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para sistemas de realimentação negativa unitária, a equação característica é dada por:
Substituindo
:
Essa equação nos dá:
Vamos simplificar essa expressão para encontrar a equação característica.
Passo 3
Vamos expandir os termos:
Primeiro, calcule
:
Agora, some os termos semelhantes:
Portanto, a equação característica fica:
Ou seja:
Passo 4
Para traçar o CLR, precisamos identificar os pontos notáveis onde o lugar das raízes cruza os eixos real e imaginário.
Interseção com o eixo real:
Para encontrar esses pontos, consideramos
real. Substituindo
, a equação característica se torna:
Isso é uma equação polinomial quartica que dependerá do valor de
. Para encontrar os pontos específicos, precisaríamos resolver essa equação para diferentes valores de
, o que geralmente é feito graficamente ou com auxílio de software.
Interseção com o eixo imaginário:
Para encontrar onde o CLR cruza o eixo imaginário, assumimos
, onde
é a unidade imaginária e
é a frequência.
Substituindo
na equação característica:
Vamos simplificar isso usando as propriedades de
:
Sabendo que
,
, e
:
Separando as partes reais e imaginárias:
Parte real:
Parte imaginária:
Passo 5
Vamos resolver a parte imaginária para encontrar possíveis valores de
:
Fatorando
:
Isso nos dá duas soluções:
-
(não relevante para cruzamento com eixo imaginário) -
Agora, substituímos
na parte real:
Calculando:
Então:
Portanto, o sistema cruza o eixo imaginário quando
.
Resposta
Após analisar o sistema, identificamos que o Lugar das Raízes em Malha Fechada (CLR) cruza o eixo imaginário no ponto
para
. Além disso, os cruzamentos com o eixo real dependem de resolver a equação característica para diferentes valores de
, podendo ser determinados graficamente ou com auxílio de ferramentas computacionais.