Para cada um dos sistemas abaixo apresentados de realimentação unitária e negativa, traçar o CLR indicando os possíveis pontos notáveis (saida ou chegada sobre o eixo real e cruzamento com o eixo imaginário):
© G(s)=Ks(s+1)(s^2+4 s+5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente traçar o Root Locus (CLR) do sistema de realimentação unitária e negativa com a função de transferência . O Root Locus é uma ferramenta da teoria de controle que mostra como os polos do sistema mudam conforme o ganho varia. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre polos, zeros e como identificar os pontos onde o Root Locus cruza o eixo real e imaginário.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos e zeros da função . Os polos são os valores de que tornam o denominador igual a zero, e os zeros são os valores de que tornam o numerador zero. No nosso caso:
  • Numerador: Não tem zeros, já que não há termos de no numerador.
  • Denominador:
Então, os polos são:
  1. (solução de )

Passo 3

Agora, vamos identificar quais partes do eixo real pertencem ao Root Locus. A regra geral é que uma parte do eixo real é parte do Root Locus se houver um número ímpar de polos e zeros à direita dessa parte.
Vamos verificar entre os polos:
  • Entre e : 4 polos à direita (0, -1, -2+j, -2-j) → 4 é par → não pertence.
  • Entre e : 3 polos à direita → ímpar → pertence.
  • Entre e : 2 polos à direita → par → não pertence.
  • Entre e : 1 polo à direita → ímpar → pertence.
Então, as partes do eixo real onde o Root Locus está presente são:
  • De a
  • De em diante

Passo 4

Vamos agora encontrar os cruzamentos com o eixo imaginário. Para isso, usamos a condição de que 1 + K G(jomega) = 0 onde 1 + Kjomega (jomega + 1)(jomega^2 + 4jomega + 5) = 0 é real. Substituímos por na equação característica:
Isso resulta em uma equação que podemos separar em partes real e imaginária e resolver para . Após simplificar, encontramos os valores de que satisfazem a equação. Para este sistema específico, os cruzamentos no eixo imaginário ocorrem aproximadamente em .

Passo 5

Finalmente, resumindo os pontos notáveis:
  • Interseções no eixo real: Entre e e a partir de .
  • Cruzamentos com o eixo imaginário: Aproximadamente em .

Resposta

Os pontos notáveis do Root Locus para são:
  • Interseções no eixo real: entre e , e a partir de .
  • Cruzamentos com o eixo imaginário: aproximadamente em .

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