Para cada um dos sistemas abaixo apresentados de realimentação unitária e negativa, traçar o CLR indicando os possíveis pontos notáveis (saida ou chegada sobre o eixo real e cruzamento com o eixo imaginário):
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente traçar o Root Locus (CLR) do sistema de realimentação unitária e negativa com a função de transferência
. O Root Locus é uma ferramenta da teoria de controle que mostra como os polos do sistema mudam conforme o ganho
varia. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre polos, zeros e como identificar os pontos onde o Root Locus cruza o eixo real e imaginário.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os polos e zeros da função
. Os polos são os valores de
que tornam o denominador igual a zero, e os zeros são os valores de
que tornam o numerador zero. No nosso caso:
- Numerador: Não tem zeros, já que não há termos de
no numerador. - Denominador:
Então, os polos são:
-
-
-
(solução de ) -
Passo 3
Agora, vamos identificar quais partes do eixo real pertencem ao Root Locus. A regra geral é que uma parte do eixo real é parte do Root Locus se houver um número ímpar de polos e zeros à direita dessa parte.
Vamos verificar entre os polos:
- Entre
e : 4 polos à direita (0, -1, -2+j, -2-j) → 4 é par → não pertence. - Entre
e : 3 polos à direita → ímpar → pertence. - Entre
e : 2 polos à direita → par → não pertence. - Entre
e : 1 polo à direita → ímpar → pertence.
Então, as partes do eixo real onde o Root Locus está presente são:
- De
a - De
em diante
Passo 4
Vamos agora encontrar os cruzamentos com o eixo imaginário. Para isso, usamos a condição de que
onde
é real. Substituímos
por
na equação característica:
Isso resulta em uma equação que podemos separar em partes real e imaginária e resolver para
. Após simplificar, encontramos os valores de
que satisfazem a equação. Para este sistema específico, os cruzamentos no eixo imaginário ocorrem aproximadamente em
.
Passo 5
Finalmente, resumindo os pontos notáveis:
- Interseções no eixo real: Entre
e e a partir de . - Cruzamentos com o eixo imaginário: Aproximadamente em
.
Resposta
Os pontos notáveis do Root Locus para
são:
- Interseções no eixo real: entre
e , e a partir de . - Cruzamentos com o eixo imaginário: aproximadamente em
.