O sistema de controle de força de um robô com retroação unitária possui o processo a controlar [6]
(a) Achar o ganho
que resulta em raizes dominantes com um coeficiente de amortecimento de 0,707. Esboçar o lugar das raízes. (b) Achar a ultrapassagem percentual e o tempo de pico reais para o ganho
da parte (a).
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de controle de força de um robô com retroação unitária, cujo processo a controlar é dado pela função de transferência:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com controle de sistemas, especificamente análise de estabilidade e resposta temporal usando o lugar das raízes (root locus).
O que vamos precisar:
- Conhecimento sobre o lugar das raízes.
- Fórmulas para calcular ganho que resulta em certo coeficiente de amortecimento.
- Entender como determinar a ultrapassagem percentual e o tempo de pico a partir do coeficiente de amortecimento e frequência natural.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter um coeficiente de amortecimento (ζ) de 0,707. Esse valor é frequentemente usado porque corresponde a uma ótima relação entre velocidade de resposta e sobreoscilação mínima.
Para encontrar o ganho
que resulta em raízes dominantes com
, precisamos identificar a localização das raízes dominantes no lugar das raízes.
Teoria aplicada: Em sistemas de segunda ordem, a posição dos polos (raízes) é dada por:
Onde:
-
é o coeficiente de amortecimento. -
é a frequência natural.
Mas nosso sistema é de quarta ordem, então precisamos focar nas raízes que dominam o comportamento do sistema, geralmente as que têm menor parte real.
Passo 3
Para aplicar o lugar das raízes, começamos com a equação característica do sistema em malha fechada:
Substituindo
:
Multiplicando todos os termos para eliminar o denominador:
Essa é a equação característica que precisamos analisar para encontrar o ganho
.
Passo 4
Para encontrar
que nos dá
, vamos usar a relação entre
e os coeficientes da equação característica.
Supondo que as raízes dominantes estão perto de uma configuração de segunda ordem, podemos igualar a equação característica a uma equação de segunda ordem padrão:
Comparando com nossa equação característica expandida, vamos identificar os termos correspondentes para resolver
.
Passo 5
Vamos expandir a equação característica:
Multiplicando os polinômios:
Organizando os termos:
Passo 6
Agora, vamos igualar essa equação à forma padrão de uma equação de segunda ordem para identificar
e
. No entanto, como temos uma equação de quarta ordem, precisamos focar nos termos que correspondem às raízes dominantes.
Comparando com a padrão de segunda ordem:
Igualando os coeficientes:
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 7
Sabemos que
. Então, substituindo na primeira equação:
Calculando:
Passo 8
Agora, substituímos
na segunda equação:
Calculando o quadrado:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Passo 9
Expandindo o lado esquerdo:
Levantando todos os termos para um lado:
Passo 10
Agora, resolvemos a equação quadrática para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
,
:
Notamos que o discriminante é negativo, indicando que não há soluções reais para
. Isso significa que, para o valor de
, não existe um ganho real que satisfaça a condição para esse sistema específico.
Resposta
Não existe um ganho
real que resulte em raízes dominantes com um coeficiente de amortecimento de
para o sistema dado.
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Especificaões:
(tempo de pico) e
(sobressinal).
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quando as raizes complexas têm um valor de
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