O sistema de controle de força de um robô com retroação unitária possui o processo a controlar [6]
K G(s)=K(s+2,5)(s^2+2 s+2)(s^2+4 s+5)
(a) Achar o ganho K que resulta em raizes dominantes com um coeficiente de amortecimento de 0,707. Esboçar o lugar das raízes. (b) Achar a ultrapassagem percentual e o tempo de pico reais para o ganho K da parte (a).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de controle de força de um robô com retroação unitária, cujo processo a controlar é dado pela função de transferência:
K G(s) = K(s + 2,5)(s^2 + 2 s + 2)(s^2 + 4 s + 5)
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com controle de sistemas, especificamente análise de estabilidade e resposta temporal usando o lugar das raízes (root locus).
O que vamos precisar:
  1. Conhecimento sobre o lugar das raízes.
  2. Fórmulas para calcular ganho que resulta em certo coeficiente de amortecimento.
  3. Entender como determinar a ultrapassagem percentual e o tempo de pico a partir do coeficiente de amortecimento e frequência natural.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter um coeficiente de amortecimento (ζ) de 0,707. Esse valor é frequentemente usado porque corresponde a uma ótima relação entre velocidade de resposta e sobreoscilação mínima.
Para encontrar o ganho s = -zeta omegan pm omegan raiz1 - zeta^2j que resulta em raízes dominantes com , precisamos identificar a localização das raízes dominantes no lugar das raízes.
Teoria aplicada: Em sistemas de segunda ordem, a posição dos polos (raízes) é dada por:
Onde:
  • é o coeficiente de amortecimento.
  • é a frequência natural.
Mas nosso sistema é de quarta ordem, então precisamos focar nas raízes que dominam o comportamento do sistema, geralmente as que têm menor parte real.

Passo 3

Para aplicar o lugar das raízes, começamos com a equação característica do sistema em malha fechada:
1 + K G(s) = 0
Substituindo 1 + K(s + 2,5)(s^2 + 2 s + 2)(s^2 + 4 s + 5) = 0 :
(s^2 + 2 s + 2)(s^2 + 4 s + 5) + K(s + 2,5) = 0
Multiplicando todos os termos para eliminar o denominador:
Essa é a equação característica que precisamos analisar para encontrar o ganho .

Passo 4

Para encontrar s^2 + 2 zeta omegan s + omegan^2 = 0 que nos dá , vamos usar a relação entre e os coeficientes da equação característica.
Supondo que as raízes dominantes estão perto de uma configuração de segunda ordem, podemos igualar a equação característica a uma equação de segunda ordem padrão:
Comparando com nossa equação característica expandida, vamos identificar os termos correspondentes para resolver .

Passo 5

Vamos expandir a equação característica:
(s^2 + 2 s + 2)(s^2 + 4 s + 5) + K(s + 2,5) = 0
Multiplicando os polinômios:
s^4 + 6 s^3 + 17 s^2 + 18 s + 10 + K s + 2,5 K = 0
Organizando os termos:
s^4 + 6 s^3 + 17 s^2 + (18 + K) s + (10 + 2,5 K) = 0

Passo 6

Agora, vamos igualar essa equação à forma padrão de uma equação de segunda ordem para identificar s^2 + 2 zeta omegan s + omegan^2 = 0 e . No entanto, como temos uma equação de quarta ordem, precisamos focar nos termos que correspondem às raízes dominantes.
Comparando com a padrão de segunda ordem:
Igualando os coeficientes:
  1. Coeficiente de :
  2. Termo constante:

Passo 7

Sabemos que 2 times 0,707 times omegan = 18 + K . Então, substituindo na primeira equação:
1,414 omegan = 18 + K Rightarrow omegan = 18 + K1,414
Calculando:

Passo 8

Agora, substituímos ( 18 + K1,414 )^2 = 10 + 2,5 K na segunda equação:
(18 + K)^22 = 10 + 2,5 K
Calculando o quadrado:
(18 + K)^2 = 20 + 5 K
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:

Passo 9

Expandindo o lado esquerdo:
324 + 36 K + K^2 = 20 + 5 K
Levantando todos os termos para um lado:
K^2 + 36 K + 324 - 5 K - 20 = 0 K^2 + 31 K + 304 = 0

Passo 10

Agora, resolvemos a equação quadrática para K^2 + 31 K + 304 = 0 :
K = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
Usando a fórmula de Bhaskara:
K = -31 pm raiz31^2 - 4 times 1 times 3042 K = -31 pm raiz961 - 12162 K = -31 pm raiz-2552
Onde , , :
Notamos que o discriminante é negativo, indicando que não há soluções reais para . Isso significa que, para o valor de , não existe um ganho real que satisfaça a condição para esse sistema específico.

Resposta

Não existe um ganho real que resulte em raízes dominantes com um coeficiente de amortecimento de para o sistema dado.

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