Terceira Questão - 25 pontos:
A linha x=2 m e z=-1 m está carregada com 10 nC / m, enquanto o plano x=-3 m está carregado com 2 nC / m^2. Determine:
a) O campo vetorial intensidade de campo elétrico na origem ( 12,5 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a intensidade do campo elétrico na origem devido a duas cargas: uma linha carregada e um plano carregado. Vamos precisar dos conceitos de campo elétrico gerado por uma linha de carga e por um plano infinito carregado. Então, vamos calcular separadamente o campo elétrico de cada uma dessas cargas e depois somar os vetores resultantes para achar o campo total na origem.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o campo elétrico gerado pela linha carregada. Temos uma linha situada em e com densidade de carga linear . Para encontrar o campo elétrico produzido por essa linha na origem, precisamos calcular a distância da origem até a linha e a direção desse campo.

Passo 3

A distância r = raiz(2, m)^2 + (-1, m)^2 = raiz4 + 1 = raiz5, m da origem até a linha carregada pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
Elinha = lambda2pi varepsilon0 r , r
Agora, o campo elétrico devido a uma linha carregada é dado por:
onde é a permissividade do vácuo e é o vetor unitário na direção do campo.

Passo 4

Vamos calcular o módulo do campo elétrico da linha:
|Elinha| = 10 times 10^-9, C/m2pi times 8,85 times 10^-12, F/m times raiz5, m approx 10 times 10^-92 times 3,1416 times 8,85 times 10^-12 times 2,236 approx 8,0 times 10^3, N/C
Agora, determinamos a direção do campo elétrico. Como a carga é positiva, o campo sai da linha carregada em direção à origem. O vetor unitário aponta da linha para a origem, na direção de .

Passo 5

Normalizando o vetor direção:
r = (-2, i + 1, k)raiz(-2)^2 + 1^2 = -2, i + 1, kraiz5
Portanto, o campo elétrico devido à linha é:
Elinha = 8,0 times 10^3, N/C times ( -2raiz5, i + 1raiz5, k ) approx (-7,16 times 10^3, i + 3,58 times 10^3, k), N/C

Passo 6

Agora, vamos calcular o campo elétrico gerado pelo plano carregado. O plano está localizado em Eplano = sigma2 varepsilon0 , n e tem densidade de carga superficial . Para um plano infinito carregado, o campo elétrico é dado por:
onde é o vetor unitário normal ao plano. Como o plano está em , o campo elétrico aponta na direção positiva do eixo .

Passo 7

Calculando o módulo do campo elétrico do plano:
|Eplano| = 2 times 10^-9, C/m^22 times 8,85 times 10^-12, F/m approx 2 times 10^-91,77 times 10^-11 approx 1,13 times 10^2, N/C
Portanto, o campo elétrico do plano é:
Eplano = 1,13 times 10^2, N/C , i

Passo 8

Finalmente, vamos somar os campos elétricos de ambas as cargas para encontrar o campo total na origem:
Etotal = Elinha + Eplano = (-7,16 times 10^3, i + 3,58 times 10^3, k), N/C + (1,13 times 10^2, i), N/C
Etotal = (-7,16 times 10^3 + 1,13 times 10^2), i + 3,58 times 10^3, k approx -7,05 times 10^3, i + 3,58 times 10^3, k, N/C

Resposta

O campo elétrico total na origem é aproximadamente N/C.

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