Terceira Questão - 25 pontos:
A linha
e
está carregada com
, enquanto o plano
está carregado com
. Determine:
a) O campo vetorial intensidade de campo elétrico na origem ( 12,5 pontos).
A linha
a) O campo vetorial intensidade de campo elétrico na origem ( 12,5 pontos).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a intensidade do campo elétrico na origem devido a duas cargas: uma linha carregada e um plano carregado. Vamos precisar dos conceitos de campo elétrico gerado por uma linha de carga e por um plano infinito carregado. Então, vamos calcular separadamente o campo elétrico de cada uma dessas cargas e depois somar os vetores resultantes para achar o campo total na origem.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o campo elétrico gerado pela linha carregada. Temos uma linha situada em
e
com densidade de carga linear
. Para encontrar o campo elétrico produzido por essa linha na origem, precisamos calcular a distância da origem até a linha e a direção desse campo.
Passo 3
A distância
da origem até a linha carregada pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
Agora, o campo elétrico devido a uma linha carregada é dado por:
onde
é a permissividade do vácuo e
é o vetor unitário na direção do campo.
Passo 4
Vamos calcular o módulo do campo elétrico da linha:
Agora, determinamos a direção do campo elétrico. Como a carga é positiva, o campo sai da linha carregada em direção à origem. O vetor unitário
aponta da linha para a origem, na direção de
.
Passo 5
Normalizando o vetor direção:
Portanto, o campo elétrico devido à linha é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o campo elétrico gerado pelo plano carregado. O plano está localizado em
e tem densidade de carga superficial
. Para um plano infinito carregado, o campo elétrico é dado por:
onde
é o vetor unitário normal ao plano. Como o plano está em
, o campo elétrico aponta na direção positiva do eixo
.
Passo 7
Calculando o módulo do campo elétrico do plano:
Portanto, o campo elétrico do plano é:
Passo 8
Finalmente, vamos somar os campos elétricos de ambas as cargas para encontrar o campo total na origem:
Resposta
O campo elétrico total na origem é aproximadamente
N/C.