Terceira Questão - 25 pontos:
A linha e está carregada com , enquanto o plano está carregado com . Determine:
a) O campo vetorial intensidade de campo elétrico na origem ( 12,5 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a intensidade do campo elétrico na origem devido a duas cargas: uma linha carregada e um plano carregado. Vamos precisar dos conceitos de campo elétrico gerado por uma linha de carga e por um plano infinito carregado. Então, vamos calcular separadamente o campo elétrico de cada uma dessas cargas e depois somar os vetores resultantes para achar o campo total na origem.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o campo elétrico gerado pela linha carregada. Temos uma linha situada em e com densidade de carga linear . Para encontrar o campo elétrico produzido por essa linha na origem, precisamos calcular a distância da origem até a linha e a direção desse campo.

Passo 3

A distância da origem até a linha carregada pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
Agora, o campo elétrico devido a uma linha carregada é dado por:
onde é a permissividade do vácuo e é o vetor unitário na direção do campo.

Passo 4

Vamos calcular o módulo do campo elétrico da linha:
Agora, determinamos a direção do campo elétrico. Como a carga é positiva, o campo sai da linha carregada em direção à origem. O vetor unitário aponta da linha para a origem, na direção de .

Passo 5

Normalizando o vetor direção:
Portanto, o campo elétrico devido à linha é:

Passo 6

Agora, vamos calcular o campo elétrico gerado pelo plano carregado. O plano está localizado em e tem densidade de carga superficial . Para um plano infinito carregado, o campo elétrico é dado por:
onde é o vetor unitário normal ao plano. Como o plano está em , o campo elétrico aponta na direção positiva do eixo .

Passo 7

Calculando o módulo do campo elétrico do plano:
Portanto, o campo elétrico do plano é:

Passo 8

Finalmente, vamos somar os campos elétricos de ambas as cargas para encontrar o campo total na origem:

Resposta

O campo elétrico total na origem é aproximadamente N/C.

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