Quarta Questão -25 pontos: no espaço livre, é dada por V(r)=V0 a^2 / r^2, onde V0 e a sāo constantes positivas. Determine:
c) A carga contida no interior do raio a ( 6 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de eletrostática onde a potencial elétrico no espaço livre é dado por . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a carga que está dentro de um raio . Para resolver isso, vamos precisar entender como a potencial se relaciona com o campo elétrico e, a partir daí, usar a Lei de Gauss para encontrar a carga presente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico E(r) = -dVdr está relacionado com o potencial elétrico pela relação:
Isso significa que precisamos derivar o potencial em relação a para achar o campo elétrico.

Passo 3

Vamos calcular a derivada:
V(r) = V0 a^2r^2 dVdr = ddr ( V0 a^2r^2 ) = -2 V0 a^2r^3
Então, o campo elétrico fica:
E(r) = -( -2 V0 a^2r^3 ) = 2 V0 a^2r^3

Passo 4

Agora, vamos usar a Lei de Gauss, que nos diz que:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Como o campo elétrico é radial e tem simetria esférica, a integral se simplifica para:
E(r) cdot 4pi r^2 = Qinternovarepsilon0
Substituindo 2 V0 a^2r^3 cdot 4pi r^2 = Qinternovarepsilon0 8pi V0 a^2r = Qinternovarepsilon0 que encontramos:

Passo 5

Agora, queremos a carga contida dentro do raio 8pi V0 a^2a = Qinternovarepsilon0 8pi V0 a = Qinternovarepsilon0 . Substituindo Qinterno = 8pi varepsilon0 V0 a na equação:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A carga contida no interior do raio é .

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