Para cada um dos sistemas descritos pelas equações diferenciais a seguir, determine a função de transferência do sistema.
d^2 y(t)d t^2-y(t)=d x(t)d t-x(t)

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial que descreve um sistema:
d^2 y(t)d t^2 - y(t) = d x(t)d t - x(t)
Nosso objetivo aqui é encontrar a função de transferência desse sistema. A função de transferência relaciona a entrada com a saída no domínio de Laplace, usando transformadas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a função de transferência, a gente usa a Transformada de Laplace nas equações diferenciais. A Transformada de Laplace transforma funções do tempo para o domínio de , facilitando a manipulação de derivadas.

Passo 3

Vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Considerando que as condições iniciais são zero (o que simplifica as coisas), temos:
  • Transformada de s^2 Y(s) - Y(s) = s X(s) - X(s) é
  • Transformada de é
  • Transformada de é
  • Transformada de é
Então, aplicando na equação:

Passo 4

Agora, vamos reorganizar os termos para isolar Y(s)(s^2 - 1) = X(s)(s - 1) de um lado. Primeiro, coloque todos os termos com de um lado e os com do outro:

Passo 5

Para encontrar a função de transferência Y(s)X(s) = s - 1s^2 - 1 , basta dividir ambos os lados da equação por :

Resposta

A função de transferência do sistema é:
Y(s)X(s) = s - 1s^2 - 1

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