Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Aqui, vamos usar conceitos de transformadas de Laplace e decomposição em frações parciais para facilitar a inversão. Vamos precisar dividir a fração em partes mais simples que a gente já conhece a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor em frações parciais. Isso significa escrever a função como a soma de termos mais simples. Assumimos a forma:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de , e . Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Expandindo e simplificando a equação:
Reagrupando os termos:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema:
  • Da terceira equação, .
  • Substituindo na primeira, .
  • Substituindo e na segunda, .

Passo 6

Então, a decomposição fica:

Passo 7

Agora, vamos achar a transformada inversa de cada termo separadamente. Lembrando que:

Passo 8

Aplicando as transformadas inversas:

Resposta

A transformada inversa de Laplace é:

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