Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função
. Aqui, vamos usar conceitos de transformadas de Laplace e decomposição em frações parciais para facilitar a inversão. Vamos precisar dividir a fração em partes mais simples que a gente já conhece a transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor
em frações parciais. Isso significa escrever a função como a soma de termos mais simples. Assumimos a forma:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
. Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Expandindo e simplificando a equação:
Reagrupando os termos:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema:
- Da terceira equação,
. - Substituindo na primeira,
. - Substituindo
e na segunda, .
Passo 6
Então, a decomposição fica:
Passo 7
Agora, vamos achar a transformada inversa de cada termo separadamente. Lembrando que:
Passo 8
Aplicando as transformadas inversas:
Resposta
A transformada inversa de Laplace é: