Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
s+2s(s+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Aqui, vamos usar conceitos de transformadas de Laplace e decomposição em frações parciais para facilitar a inversão. Vamos precisar dividir a fração em partes mais simples que a gente já conhece a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor s + 2s(s + 1)^2 = As + Bs + 1 + C(s + 1)^2 em frações parciais. Isso significa escrever a função como a soma de termos mais simples. Assumimos a forma:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de s + 2 = A(s + 1)^2 + B s (s + 1) + C s , e . Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Expandindo e simplificando a equação:
s + 2 = A(s^2 + 2s + 1) + B s^2 + B s + C s
Reagrupando os termos:
s + 2 = (A + B)s^2 + (2A + B + C)s + A

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
A + B = 0 2A + B + C = 1 A = 2
Resolvendo o sistema:
  • Da terceira equação, .
  • Substituindo na primeira, .
  • Substituindo e na segunda, .

Passo 6

Então, a decomposição fica:
s + 2s(s + 1)^2 = 2s - 2s + 1 - 1(s + 1)^2

Passo 7

Agora, vamos achar a transformada inversa de cada termo separadamente. Lembrando que:

Passo 8

Aplicando as transformadas inversas:
L^-12s = 2
L^-1-2s + 1 = -2 e^-t
L^-1-1(s + 1)^2 = -t e^-t

Resposta

A transformada inversa de Laplace é:
f(t) = 2 - 2 e^-t - t e^-t

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