Para cada um dos sistemas descritos pelas equações diferenciais a seguir, determine a função de transferência do sistema.
d^4 y(t)d t^2+4 d y(t)d t+24 y(t)=3 d x(t)d t+2 x(t)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que descreve um sistema e queremos descobrir a função de transferência desse sistema. A função de transferência é uma maneira de relacionar a saída do sistema com a entrada no domínio de Laplace, ou seja, . Para isso, vamos precisar usar a Transformada de Laplace, que transforma equações no tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial fornecida:
d^4 y(t)d t^2 + 4 d y(t)d t + 24 y(t) = 3 d x(t)d t + 2 x(t)
Veja que há derivadas de diferentes ordens de e . Para transformar isso para o domínio de Laplace, lembrando que:
  • A transformada de é .
Mas vamos assumir condições iniciais nulas (todos os e derivadas iguais a zero), o que simplifica a transformação.

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace em cada termo da equação:
  • Para s^4 Y(s) + 4s Y(s) + 24 Y(s) = 3s X(s) + 2 X(s) , a transformada é .
  • Para , a transformada é .
  • Para , a transformada é .
  • Para , a transformada é .
  • Para , a transformada é .
Então, a equação no domínio de Laplace fica:

Passo 4

Agora, vamos fatorar Y(s) (s^4 + 4s + 24) = X(s) (3s + 2) e Y(s)X(s) = 3s + 2s^4 + 4s + 24 para isolar :
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

A função de transferência do sistema é:
H(s) = Y(s)X(s) = 3s + 2s^4 + 4s + 24

Exercícios relacionados