Para cada um dos sistemas descritos pelas equações diferenciais a seguir, determine a função de transferência do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que descreve um sistema e queremos descobrir a função de transferência desse sistema. A função de transferência é uma maneira de relacionar a saída do sistema com a entrada no domínio de Laplace, ou seja, . Para isso, vamos precisar usar a Transformada de Laplace, que transforma equações no tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial fornecida:
Veja que há derivadas de diferentes ordens de e . Para transformar isso para o domínio de Laplace, lembrando que:
  • A transformada de é .
Mas vamos assumir condições iniciais nulas (todos os e derivadas iguais a zero), o que simplifica a transformação.

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace em cada termo da equação:
  • Para , a transformada é .
  • Para , a transformada é .
  • Para , a transformada é .
  • Para , a transformada é .
  • Para , a transformada é .
Então, a equação no domínio de Laplace fica:

Passo 4

Agora, vamos fatorar e para isolar :
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

A função de transferência do sistema é:

Exercícios relacionados

Usando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais:
se e .
Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
Determine a resposta ao degrau unitário para a seguinte função de transferência,
Além disse, o que acontece com a reposta em regime permanente quando . Determine a constante de tempo, o tempo de subida e o tempo de assentamento.
Dado o sistema com realimentação unitária com,
determine a faixa de que mantém o sistema estável e instável.