Para cada um dos sistemas descritos pelas equações diferenciais a seguir, determine a função de transferência do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que descreve um sistema e queremos descobrir a função de transferência desse sistema. A função de transferência é uma maneira de relacionar a saída do sistema
com a entrada
no domínio de Laplace, ou seja,
. Para isso, vamos precisar usar a Transformada de Laplace, que transforma equações no tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial fornecida:
Veja que há derivadas de diferentes ordens de
e
. Para transformar isso para o domínio de Laplace, lembrando que:
- A transformada de
é .
Mas vamos assumir condições iniciais nulas (todos os
e derivadas iguais a zero), o que simplifica a transformação.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace em cada termo da equação:
- Para
, a transformada é . - Para
, a transformada é . - Para
, a transformada é . - Para
, a transformada é . - Para
, a transformada é .
Então, a equação no domínio de Laplace fica:
Passo 4
Agora, vamos fatorar
e
para isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A função de transferência do sistema é:
Exercícios relacionados
Usando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais:
se
e
.
Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
Determine a resposta ao degrau unitário para a seguinte função de transferência,
Além disse, o que acontece com a reposta em regime permanente quando
. Determine a constante de tempo, o tempo de subida e o tempo de assentamento.
Dado o sistema com realimentação unitária com,
determine a faixa de
que mantém o sistema estável e instável.